Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Общее решение для мод

Читайте также:
  1. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена подпрограмма
  2. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена Программа
  3. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена Программа
  4. II Разрешение космологической идеи о целокупности деления данного целого в созерцании
  5. IV Разрешение космологической идеи о всеобщей зависимости явлений по их существованию вообще
  6. VI. Общее собрание владельцев ипотечных сертификатов участия
  7. Аргументы «за» разрешение абортов.

Не рассматривая какую-либо конкретную физическую систему, предположим, что мы нашли два связанных линейных уравнения первого порядка не в нормальных координатах:

(1.6.5)

Рассмотрим колебание, соответствующее одной моде. Это значит, что обеим степеням свободы х и у соответствует гармоническое колебательное движение, совершаемое с одной и той же частотой и фазой. Таким образом, ,

где ω и B/A пока неизвестны. Имеем:

(1.6.6)

Подставляя (1.6.6) в (1.6.5), после элементарных преобразований получим два однородных линейных уравнения:

(1.6.7)

(1.6.8)

или Ясно, что должно выполняться условие: Тогда

Левая часть этого уравнения представляет собой определитель, составленный из коэффициентов линейных однородных уравнений (1.6.7) и (1.6.8):

. (1.6.9)

Уравнение (1.6.9) является квадратным относительно . Оно имеет два решения и .

Итак, мы нашли, что существуют два способа, которыми могут быть реализованы колебания с единственной модой.

Частота соответствует моде 1, а – моде 2. Геометрическую конфигурацию, или форму моды 1 получим, подставив в уравнение (1.6.9) = :

(1.6.10)

После того, как найдены частоты мод и и отношения амплитуд B 1/ A 1 и B 2/ A 2, можно записать общие выражения суперпозиции двух мод:

(1.6.11)

(1.6.12)

Выбор постоянных в уравнении (1.6.11) накладывает ограничения на возможные значения постоянных в уравнении (1.6.12), так как должны удовлетворяться уравнения (1.6.10). Наиболее общее решение уравнений (1.6.5) состоит в комбинации двух независимых решений, которые удовлетворяют четырём начальным условиям для х (0); х'(0); у (0) и у '(0). Суперпозиция двух нормальных мод, для которых четыре константы определяются из четырёх начальных условий, представляют собой такое решение. Таким образом, общее решение может быть записано как суперпозиция мод.

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 92 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Маятники | Энергия колебаний | Границы его применимости | Ангармонический осциллятор | СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С ПОТЕРЯМИ | ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВРЕМЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ. ЕГО СВЯЗЬ С ДОБРОТНОСТЬЮ ОСЦИЛЛЯТОРА | Свободные колебания в контуре | Свободные затухающие колебания в контуре | Резонанс в последовательном контуре | Переменный ток |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Нормальные моды колебаний| Волновое движение. Продольные и поперечные волны

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)