Прямая на плоскости. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, , – единичные направляющие векторы осей координат. Рассмотрим на плоскости 0 ху произвольную прямую l.

Уравнением прямой l называется уравнение, содержащее переменные х, у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на l. Прямая однозначно определяется:

1) точкой и вектором, перпендикулярным l (нормальным вектором);

2) точкой и вектором, параллельным (направляющим вектором);

3) ее двумя точками;

4) угловым коэффициентом и начальной ординатой.

В каждомиз этих случаев получим соответствующий вид уравнения прямой.

Пусть прямая l (рис. 3.1) определена точкой M ₁(x ₁, y ₁), лежащей на l, и нормальным вектором (т.е. ); , (или, что то же самое, ={ A, B }).

Пусть М (х, у) – любая точка прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору , поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю ( = 0). Выражая это произведение через координаты сомножителей, получим:

, (3.1)

т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х ₁, у ₁) перпендикулярно данному вектору = { A, B }.

Преобразуем уравнение (3.1). Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим:

.

Обозначим число (– Ах ₁ – By ₁) через С и получим:

(3.2)

– общее уравнение прямой.

Итак, уравнение прямой (3.1) является уравнением первой степени относительно переменных х, у (координат произвольной точки М, которые называются текущими координатами).

Покажем, что любое уравнение первой степени (3.2) есть уравнение некоторой прямой на плоскости 0 ху. Для этого приведем уравнение (3.2) к виду (3.1).

Если , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:

.

Если , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:

.

В любом случае получаем уравнение прямой, проходящей через некоторую точку, перпендикулярно известному вектору ={ A, B }.

Итак, уравнение (3.2) является уравнением некоторой прямой. Его коэффициенты А, В являются координатами нормального вектора.

Если в уравнении (3.2) С = 0, то прямая l проходит через начало координат. Если А = 0 (, ), т.е. уравнение имеет вид у = у ₁, (), то прямая l параллельна оси 0 х. Если В = 0 (, ), т.е. уравнение имеет вид , (), то прямая l параллельна оси 0 у. Уравнение у = 0 (А = С = 0) является уравнением оси 0 х, а уравнение (В = С = 0) – уравнением оси 0 y. Пусть прямая l (рис. 3.2) задана своей точкой M ₁(x ₁, y ₁) и направляющим вектором . Тогда векторы коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

. (3.3)

Полученное уравнение является уравнением искомой прямой l и называется каноническим.

Может оказаться, что вектор перпендикулярен одной из осей, тогда, либо
m = 0 , либо n = 0 . В этих случаях каноническое уравнение прямой все равно будем записывать соответственно в виде:

.

Пусть прямая l проходит через две заданных точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂)
(рис. 3.3). Тогда векторы и коллинеарны, поэтому уравнение

(3.4)

является уравнением прямой, проходящей через точки М ₁(х ₁, у ₁) и М ₂(х ₂, у ₂).

Пусть прямая l пересекает оси координат в точках М ₁(0, b), М ₂(a, 0) (рис. 3.4). Запишем уравнение прямой l в виде (3.4) , отсюда получаем:

. (3.5)

Уравнение (3.5) называется уравнением прямой в отрезках (а и b – отрезки, отсекаемые прямой l на осях координат).

Пусть прямая l образует с осью 0 х угол (рис. 3.5) и проходит через точку М ₁(х ₁, у ₁). Запишем каноническое уравнение прямой l, взяв в качестве направляющего вектора вектор = { m, n } единичной длины, который составляет с осью 0 х угол . Очевидно, что т = cos , n = sin и уравнение прямой l принимает вид:

Если (т.е. l неперпендикулярна оси 0 х), тоиз последнего уравнения получаем:

.

Пусть k = tg (это число называется угловым коэффициентом прямой),тогда можно записать

(3.6)

уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку М₁(х₁, у₁).

Если в качестве точки М ₁ взять точку М ₀(0, b) пересечение прямой l с осью 0 у (рис. 3.6), то уравнение (3.6) примет вид:

. (3.7)

Полученное уравнение называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.

Пример 3.1. Записать всевозможные уравнения прямой, проходящей через точки М ₁(2, –3) и М ₂(1, 0) (рис. 3.7).

Решение. Используя уравнение (3.4), получим уравнение прямой, проходящей через точки М ₁ и М ₂: , отсюда получаем:

– каноническое уравнение прямой. Сделав очевидные преобразования, получим:

– уравнение прямой l, проходящей через точку М ₁(2, –3) перпендикулярно вектору = {3, 1}. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим общее уравнение прямой: . Наконец, выразив отсюда у, получим – уравнение с угловым коэффициентом и начальной ординатой .

Пример 3.2. Дано общее уравнение прямой l: . Найти отрезок, отсекаемый этой прямой от оси 0 у и угол между l и осью 0 х. Построить прямую l.

Решение. Решим данное уравнение относительно переменной у, получим:

– уравнение прямой l с угловым коэффициентом k = tg = –1 и начальной ординатой
b = 10/3. Значит, прямая l проходит через точку М ₁(0, 10/3) и составляет с осью 0 х угол
= . По этим данным строим прямую l (рис. 3.8).

Дата добавления: 2015-07-15