Исследовать на сходимость ряд . Данный ряд сходится при -1 ≤ x < +1

Решение.

Данный ряд сходится при -1 ≤ x < +1. Значит, его промежуток сходимости [-1, +1) содержит свой левый конец x = -1 (причем в этом конце сходимость неабсолютна) и не содержит конца правого, где ряд расходится.

Доказать сходимость ряда

Решение.

Исходный ряд сходится на всей числовой оси. В самом деле, применяя к нему признак Даламбера, будем иметь (при любом x ≠ 0)

и ряд сходится.

решения других задач по данной теме

Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Согласно признаку Даламбера полученный знакоположительный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях x, для которых . Здесь .

Отсюда

Определим, при каких значениях x этот предел l будет меньше единицы. Для этого решим неравенство , или | x | < 2, откуда -2 < x < 2.

Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в интервале (-2; 2) – это и есть интервал сходимости данного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x = -2 получаем числовой ряд

Это – гармонический ряд, который расходится.

При x = 2 получаем числовой знакочередующийся ряд

который по признаку Лейбница сходится (условно).

Итак, область сходимости данного ряда -2 < x ≤ 2.

Исследовать на сходимость ряд 1! x + 2! x ² + 3! x ³ + …

Решение.

Ряд сходится только при x = 0. Действительно, если x ≠ 0, то

и ряд расходится.

Исследовать на сходимость прогрессию 1 + x + x ² + x ³ + …

Решение.

Исходная прогрессия сходится при | x | < 1 и расходится при | x | ≥ 1. Значит, промежутком ее сходимости является открытый промежуток (-1, +1). На его концах прогрессия расходится.

решения других задач по данной теме

Исследовать на сходимость степенной ряд (1)

Решение.

Применяя признак Даламбера к ряду, получим

Значит, ряд абсолютно сходится при | x | < 1 и расходится при | x | > 1. Если же x = 1, то наш ряд принимает вид

(2)

В пункте Положительные ряды было установлено, что этот ряд сходится. При x = -1 получается ряд, для которого (2) служит рядом абсолютных величин. Поэтому промежутком сходимости ряда (1) служит замкнутый промежуток [-1, +1]. На концах этого промежутка ряд (1) сходится абсолютно.

Дата добавления: 2015-07-18