Из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.®расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая . Пусть для любого имеем

, (3)

где и — соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число . Поскольку при этом последовательность — возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е. для любого . Отсюда из неравенства (3) следует . Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). ¨

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1) -геометрический (он сходится при и расходится при );

2) – гармонический (он расходится);

3) -ряд Дирихле (он сходится при и расходится при ).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

, , , .

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость.

Решение

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени . Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость.

Решение

1) Данный ряд знакоположительный, так как для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

.

3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Дата добавления: 2015-07-18