Пример 7.9.

Рассмотрим знакочередующийся ряд

(7.14)

Для этого ряда условия теоремы (7.13) выполнены:

1) ; 2) .

Следовательно, ряд (7.12) сходится.

Следствие из теоремы 7.3. Остаток знакочередующегося ряда (7.13), удов­летворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Пример 7.10. Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда

В качестве приближенного значения суммы ряда мы должны взять ту частичную сумму , для которой . Согласно следствию, . Следовательно, достаточно положить , т. е. , тогда

.

Отсюда с точностью до 0,1.

Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим ряд, члены которого имеют произвольные знаки

,

(7.15)

Рассмотрим также ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (7.13)

.

(7.16)

Отметим, что ряд (7.16) является рядом с положительными членами и для него применимы соответствующие теоремы, приведенные выше.

Теорема 7.4 (Признак абсолютной сходимости). Если сходится ряд (7.16), то сходится и ряд (7.15).

(Доказательство теоремы можно найти, например, в [ ]).

Определение.

Если сходится ряд (7.16), то соответствующий ряд (7.15) называется абсолютно сходящимся абсолютно сходящим ся.

Может оказаться, что ряд (7.16) расходится, а ряд (7.15) сходится. В этом случае ряд (7.15) называется условно сходящимся.

Отметим, что знакочередующийся ряд (7.13) является частным случаем ряда, члены которого имеют произвольные знаки. Поэтому для исследования знакочередующегося ряда также можно применить теорему 7.5.

Дата добавления: 2015-07-14