Читайте также: |
|
Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.
Нехай область D обмежена знизу і зверху поверхнями і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області G на площину через D (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в D.
Рисунок 1 – Область G
Якщо при цьому область D є правильною, то область G називається правильною у напрямі осі Oz. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі Oz, перетинає межу області G у точках M і N. Точку M назвемо точкою входу в область G, а точку N – точкою виходу з області G, а їхні аплікати позначимо відповідно через і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області G функції має місце формула
Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною Z, вважаючи X та Y сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки M входу , а верхньою – апліката точки виходу N. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію I(x,y) від змінних x та y
Якщо область D, наприклад, обмежена кривими і , де і – неперервні функції, тобто
, то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу
,(6)
яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні x,y і z у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями. Якщо, наприклад, область G правильна в напрямі осі Ox:
,
де – неперервні функції, то
.
Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед: ,
то . (7)
У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область G правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .
20. Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах.
Як відомо, прямокутні координати через циліндричні можна виразити формулами
Якщо взяти то
Тоді
Сферичними координатами точки простору називається трійка чисел , де - довжина радіус-вектора точки , - кут, утворений проекцією радіус-вектора на площину і віссю , - кут відхилення радіус-вектора від осі (див. рис. 17).
Сферичні координати пов'язані з декартовими координатами співвідношеннями: , , (, , ).
21. Застосування потрійного інтеграла до задач геометрії.
Об’єм тіла
Об’єм області V виражається або формулою
- у декартових координатах,
- у циліндричних координатах,
- у сферичних координатах.
Маса тіла
Маса тіла m при заданій об'ємній густині обчислюється за допомогою потрійного інтеграла
,
де - об'ємна густина розподілу маси в точці .
22. Застосування потрійного інтеграла до задач механіки і фізики.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 49 | Нарушение авторских прав