Обчислення криволінійного інтеграла II роду

Обчислення криволінійного інтеграла II роду, як і I роду, може бути зведено до обчислення певного інтеграла.

27. Криволінійні інтеграли другого роду вздовж просторових кривих.

28. Формула Гріна. Обчислення площі плоскої фігури через криволінійний інтеграл.

Зв'язок між подвійним інтегралом по області D і криволінійним інтегралом по межі L цієї області встановлює формула Гріна, яка широко застосовується в математичному аналізі. Нехай на площині Оху задана область D, обмежена кривою, яка перетинається з прямими, паралельними координатним осям не більше ніж в двох точках тобто область D — правильна.

Теорема. Якщо функції Р(х;у) і Q(х;у) неперервні разом зі своїми частинними похідними в області D, то має місце формула (2.8)

де L— межа області D і інтегрування уздовж кривої L,

проводиться в додатньому напрямі

Формула (2.8) називається формулою Гріна.

Нехай — рівняння дуги АnВ, а - рівняння дуги АmВ (Див. рис. 8). Знайдемо спочатку . За правилом обчислення подвійного інтеграла, маємо:

29. Поверхневі інтеграли першого роду: означення, обчислення.

Узагальненням подвійного інтеграла є так званий поверхневий інтеграл. Нехай в точках деякої поверхні S, з площею S, простору Охуz визначена неперервна функція

f (х;у; z). Розіб'ємо поверхню S на n частин площі яких позначимо через (див. рис. 14), а діаметри — через , . В кожній частині візьмемо довільну точку і складемо суму:

(3.1).

Вона називається інтегральною для функції по поверхні S.

Якщо інтегральна сума (3.1) має межу, то він називається поверхневим інтегралом I роду від функції f (х;у; z) по поверхні S і позначається:

Таким чином, за визначенням, (3.2)

Відзначимо, що якщо поверхня S гладка (в кожній її точці існує дотична площина, яка безперервно змінюється з переміщенням точки по поверхні), а функція (х; у; z) неперервна на цій поверхні, то поверхневий інтеграл існує (теорема існування)

Поверхневий інтеграл I роду володіє наступними властивостями:

1. ,де с — число.

2.

3. Якщо поверхню S розбити на частини S₁ і S₂ такі, що S = S₁ S₂, а перетин S₁ і S₂ складається лише з межі, що їх розділяє, то:

4. Якщо на поверхні S виконана нерівність то:

5. , де S - площа поверхні S;

6.

7. Якщо (х; у; z) неперервна на поверхні S, то на цій поверхні існує точка така, що:

(теорема про середнє значення).

Дата добавления: 2015-12-08