Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

Читайте также:
  1. A9. Укажите верную характеристику второго (2) предложения текста.
  2. II. Интегралы вида
  3. V. Интегралы вида
  4. Анализ активных операций банков второго уровня Республики Казахстан
  5. Анализ пассивных операций банков второго уровня Республики Казахстан
  6. В условных предложениях второго типа в качестве условия к настоящему или будущему.
  7. Вывод из второго случия: 1 Знакомства в Интернети иногда бывают не такими и уж прекрасными как в реальной жизни. 2 Всегда надо держать язык за зубами.

Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на n частей с площадями и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента на плоскость (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел при называется поверхностным интегралом второго рода от по определенной стороне поверхности s:

(здесь напоминает о проекции на и содержит знак).

При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости и получаем ПИ-2:

.

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда

а) если , то ;

б) если , то ; (6.5)

в) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на s, то

. (6.6)

Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

.

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28
Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на с уравнением и с уравнением (рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности характеризуется нормальным вектором ,

 

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,Ù Oz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,Ù Oz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) + = ½переходим к полярным координатам:

, ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½= ;

=

= ; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z =2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29
а потому , = .

Тогда , .

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

Рис.14.29
= . Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция на плоскость Oxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как , то по формуле (6.3) (или (6.4)) =½переходим к полярным координатам ½=

= = = = .#


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Области на плоскости | Задачи для самостоятельного решения | Переход в двойном интеграле к полярным координатам | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Независимость КИ-2 от пути интегрирования | Способы вычисления потока | Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля | Ротор (вихрь) векторного поля |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)| Векторных линий поля

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)