Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задачи для самостоятельного решения. Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

Читайте также:
  1. B. Принятия оптимального управленческого решения по наиболее важным вопросам деятельности на рынке.
  2. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля.
  3. I.5.3. Подготовка данных для задачи линейного программирования.
  4. I.5.4. Решение задачи линейного программирования.
  5. I.5.5. Просмотр и анализ результатов решения задачи.
  6. I.5.7. Mодификация (изменение) данных задачи.
  7. II. 1.1. Общая постановка задачи.

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x =3, x =5, 3 x -2 y +4=0, 3 x -2 y +1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной F (x, y) для по переменному “ y ”, проинтегрированное по переменному “ x ”, т.е.

.

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной Ф (x, y) для f (x, y) по переменному “ x ”, проинтегрированное по переменному “ y ”, т.е.

= .

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по “ y ”, полагаем “ x ” постоянным½=

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

4. . 5. 6. . 7. , если .

Вычисление двойного интеграла в декартовых

Координатах

Теорема 14.1 Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(2.3)

Теорема 14.2. Если:1) функция f (x, y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

. (2.4)

Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7
Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x= 2 -y, y =0, y =1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых и , то
, где (см. (2.1)) ,

. Итак, = = = .#

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках (рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

Рис.14.8 а)

= .

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

Рис.14.8.б

= . #


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 86 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Независимость КИ-2 от пути интегрирования | Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1) | Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2) | Векторных линий поля | Способы вычисления потока | Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля | Ротор (вихрь) векторного поля |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Области на плоскости| Переход в двойном интеграле к полярным координатам

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)