Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Оценивание весовой функции по методу наименьших квадратов

Читайте также:
  1. HLA - система; классы антигенов, биологические функции, практическое значение HLA-типирования.
  2. II закон термодинамики. Характеристические функции системы. Уравнение энергетического баланса системы, его анализ.
  3. IV.Функции герундия в предложении.
  4. Python. Модуль math. Математические функции
  5. Агрегатные функции. Предложения GROUP BY, HAVING.
  6. Аккумулирующие сосуды и сосуды возврата крови к сердцу. Их функции. Временное и длительное депонирование крови.
  7. Алгоритм поиска подстроки Кнута-Морриса-Пратта (на основе префикс-функции)

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом. Объект предполагается линейным и стационарным.

Выход системы запишем в виде:

(1)

h(t) - весовая функция (импульсная переходная функция)

x(t-t)- вход, n(t) - невязка (иногда называют шумом),

 

  TS - время установления, определяется как min интервал времени, измеренный от момента подачи импульсного сигнала до момента, когда реакция системы составит 5% пикового значения (рис.). Входная и выходная переменные представлены в формуле (1) в виде отклонений от своих математических ожиданий, т.е.

 

Представим уравнение (1) в дискретном виде

или (2)

Здесь - время установления, - время измерения выхода, Ni - содержит не только невязку в моменты времени n(iD), но и ошибки аппроксимации функции x(t-t).

В результате аппроксимации задача оценивания непрерывной функции h(t) заменяется (параметризуется) оцениванием конечного множества параметров h0 ,..., hNs-1 (называется дискретной импульсной переходной функцией)

Для упрощения представления запишем уравнения (2) в матричном виде:

(3)

Запишем матричное представление в символическом виде

(4)

Задача сводится к определению вектора параметров b при заданной матрице А и вектора измерений z.

Критерием при оценивании вектора параметров b является выбор таких b, которые минимизируют сумму квадратов невязок на интервале измерений.

Положим в матричном виде J = nT n (5)

подставляя (4) в (5) получим J=(z-Ab)T (z-Ab)

Необходимо определить b*, удовлетворяющие условию

.

Необходимым условием вычисления J является выполнение условия экстремума .

 

Запишем уравнения (3) в виде сумм

(6)

 

Продифференцируем (6) J по компонентам вектора b:

=

= -2 при m = 0,1,..., NS –1 (7)

Формулу (7) представим в матричном виде:

(8)

(8) является необходимым условием экстремума J.

Достаточным условием при расчете min J является положительная определенность квадратной матрицы

Если формулу (8) продифференцируем еще раз по b, то получим

(9)

Если матрица ATA - неособенная, и также правая часть не зависит от b в (9), то условие экстремума (8) является необходимым и достаточным условием минимума.

Перепишем (8) в виде:

ATA b* = ATz, отсюда b* = (ATA)-1 ATz (10)

Напомним, что

.

В непрерывной форме уравнение (10) принимает вид

(11)

Уравнение (11) – уравнение Винера-Хопфа и может быть переписано в виде

где Rxx(t) - автокорреляционная функция и Rxz(t) - взаимная корреляционная функция.

 

Автокорреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция двух аргументов Kxx(t,t‘), которая при каждой паре значений t,t‘ равна корреляционному моменту соответствующему случайному сечению функции X(t).

Kxx(t,t‘) = .

 


Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 91 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Предмет и задачи курса. Общая постановка задач идентификации моделей | Основные типы моделей в теории идентификации | Характеристик объектов управления | Идентификация моделей в виде апериодических звеньев II-го порядка | Постановка задачи | Модель первого типа |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Модель третьего типа| Регрессионный метод идентификации линейных систем (Метод наименьших квадратов)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)