Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений

Читайте также:
  1. B) которые могут быть в пределах одной и той же личности;
  2. II Измерить среднеквадратическое значение переменной составляющей, среднеквадратичное действующее и амплитудное напряжения после выпрямителя для различных нагрузок.
  3. II Измерить среднеквадратическое значение переменной составляющей, среднеквадратичные действующие и амплитудное напряжения после выпрямителя для различных нагрузок.
  4. II. Основные задачи и функции
  5. II. Отнесение опасных отходов к классу опасности для ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ расчетным методом
  6. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  7. II. Функции

 

Коль скоро мы не объяснили (на данный момент) строго, что такое производная функции, то не имеет смысла объяснять, и что такое дифференциал функции. В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная». Точнее – это производная, умноженная на приращение аргумента функции.

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

 

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Помимо других задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции. Кроме того, как и для производной, для дифференциала существует понятие дифференциала в точке. И такие примеры мы тоже рассмотрим.

 

Пример 7

Найти дифференциал функции .

Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё додифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:

(корень пятой степени относится именно к синусу).

Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:

Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде:

Готово.

Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

 

Пример 8

Найти дифференциал функции .

Это пример для самостоятельного решения.

 

Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке.

 

Пример 9

Вычислить дифференциал функции в точке

Найдем производную:

Производная вроде бы найдена. Но в это всё предстоит еще подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:

Труды были не напрасны, записываем дифференциал:

Теперь вычислим дифференциал в точке :

В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.

Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:

 

Пример 10



Вычислить дифференциал функции в точке . В ходе решения производную максимально упростить.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 138 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Производная произведения функций | Производная частного функций | Производная сложной функции | Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции | Сложные производные | Логарифмическая производная | Производная степенно-показательной функции | Производная функции, заданной неявно | Производная функции, заданной параметрически. | Производная функции в точке |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Уравнение касательной к графику функции| Вторая производная

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.011 сек.)