Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнение касательной к графику функции

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  3. II. Функции
  4. II.Синдром дисфункции синусового узла (СССУ) I 49.5
  5. III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции
  6. III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
  7. III. Функции Совета

 

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Сразу приведём готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

 

Строгое определение касательной дается с помощью определения самой производной функции, и с этим пока повременим. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная.

Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная с угловым коэффициентом k (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой k.

Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Значение нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :

.

На следующем этапе находим производную:

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Подставляем значения , и в формулу :

Таким образом, уравнение касательной:

Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:

Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:

– верное равенство.

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

 

 

Пример 5

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения , и в формулу :

Готово.

Выполним частичную проверку:

Подставим точку в найденное уравнение:

;

; – верное равенство.

Пример 6

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Полное решение и образец оформления в конце урока.

 

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 203 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Производная суммы равна сумме производных | Производная произведения функций | Производная частного функций | Производная сложной функции | Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции | Сложные производные | Логарифмическая производная | Производная степенно-показательной функции | Производная функции, заданной неявно | Производная функции, заданной параметрически. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производная функции в точке| Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.006 сек.)