Кінематика обертального руху.

Розглянемо кінематичні характеристики окремого випадку криволінійного руху по плоскій кривій – руху матеріальної точки по колу навколо нерухомої осі.

Нехай матеріальна точка М (рис. 5) рухається по колу радіуса R. Початок О прямокутної системи координат XYZ, розмістимо на осі обертання ОО ' і спрямуємо вісь OZ, вздовж осі ОО '. Тоді площина кола буде паралельною координатній площині XOY і положення точки М у просторі визначатиметься радіусом-вектором .

Переміщення точки М по колу протягом часу характеризують кутом повороту вектора . Кут називають кутовим
переміщенням. Швидкість , з якою матеріальна точка рухається по колу, називають лінійною.

Для кінематичного описання обертального руху кутове переміщення матеріальної точки за скінченний малий проміжок часу зображують у вигляді вектора малого кута повороту . Модуль цього вектора дорівнює кутовому переміщенню за даний проміжок часу. Його напрям пов’язують з віссю обертання і напрямом обертання точки навколо осі за такою домовленістю: вектор напрямлений вздовж осі обертання у бік поступального руху правого гвинта, що повертається за напрямом обертання матеріальної точки. Отже, вектор разом з вектором і вектором лінійної швидкості утворюють правогвинтову трійку взаємно перпендикулярних векторів. Напрями векторів і випливають з природи цих фізичних величин, такі вектори називають полярними. Вектори, напрям яких залежить від напряму обертання, називають осьовими (або аксіальними). Вектор кута повороту – один з осьових векторів.

Кут повороту може змінюватися з часом нерівномірно. Рух точки по колу характеризують вектором кутової швидкості . Вона визначається границею, до якої прямує відношення кута до проміжку часу, за котрий відбувся цей поворот

при .

Кутовою швидкістю називають вектор , що дорівнює похідній від вектора кута повороту за часом. Вектор – осьовий, напрямлений вздовж осі обертання і за напрямом збігається з вектором елементарного кута повороту та вказує положення осі обертання і напрям обертання точки навколо осі. Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від модуля кута повороту за часом

.

Знайдемо зв’язок між кутовою швидкістю і лінійною швидкістю матеріальної точки. При малому кутовому переміщенні за час точка проходить довжину дуги кола (рис. 5). Поділивши цю рівність на і перейшовши до границі при , матимемо співвідношення між модулями швидкостей

, або .

Рівномірним обертанням по колу називають рух, при якому за рівні проміжки часу відбувається поворот на той самий кут. При рівномірному обертанні кутова швидкість стала і кут повороту пропорційний часові обертання.

Періодом обертання називають проміжок часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один оберт. Оскільки за час кут повороту , то

.

Частота обертання дорівнює числу обертів за одиницю часу:

, або .

За одиницю кутової швидкості в СІ прийнято радіан за секунду (рад/с, або 1/с, або с^–1) – кутова швидкість рівномірного обертання, при якому кожної секунди точка здійснює поворот на один радіан.

У загальному випадку нерівномірного обертання кутова швидкість може змінюватись як за модулем внаслідок зміни частоти обертання навколо нерухомої осі, так і за напрямом, якщо вісь обертання змінює орієнтацію в просторі. Такий обертальний рух характеризують кутовим прискоренням. Якщо за малий проміжок часу вектор змінився на , то кутове прискорення визначається границею

при .

Кутовим прискоренням називають вектор , який дорівнює першій похідній від вектора кутової швидкості або другій похідній від вектора кута повороту за часом.

Вектор кутового прискорення має напрям вектора , тобто є осьовим. При обертанні навколо нерухомої осі в одному напрямі кутова швидкість змінюється тільки за модулем і, отже, модуль кутового прискорення

або .

Рівнозмінним обертанням матеріальної точки по колу називають обертальний рух, при якому за рівні проміжки часу кутова швидкість змінюється на однакову величину. При рівнозмінному обертанні в одному напрямі кутове прискорення стале і модулі кутової швидкості, кута повороту, тангенціального та нормального прискорень у даний момент часу і виражаються формулами

, , , .

Кутове прискорення в СІ вимірюється в радіанах на секунду в квадраті (рад/с², або с^–2).

Основні рівняння кінематики обертального та поступального рухів матеріальної точки подібні. В таблиці 1 наведено найбільш уживані формули для рівномірного та рівнозмінного рухів.

Табл. 1.

Поступальний рух	Обертальний рух
Рівномірний
Рівнозмінний

Дата добавления: 2015-07-08