Аналитические операции

Выше уже было отмечено, что во многих случаях Математика производит аналитические преобразования по умолчанию. Например, по умолчанию вычисляются аналитические значения производных и интегралов. Остановимся теперь на типично аналитических операциях.

Разложение функции в степенной ряд:

Series[f, {x, x₀, n}] – строит степенной ряд для функции f относительно точки x₀ до слагаемого степени n.

Series[f, {x, x₀, n_x}, {y, y₀, n_y}] – разложение по двум переменным.

Функция Series позволяет строить ряд Тейлора, а также разложения, включающие отрицательные и дробные степени. Функция Series строит также разложения относительно бесконечной точки.

Пример 13.1:

In[ ]:= Series[f[x], {x, a, 3}]

Out[ ] = f[a] + f’[a] (x-a) + 1/2 f’’[a] (x-a)² + 1/6 f⁽³⁾[a] (x-a)³ + O[x-a]⁴

In[ ]:= Series[Exp[Sqrt[x]], {x, 0, 2}]

Out[ ] = 1 + x^1/2 + x/2 + (x^3/2)/6 + x²/24 + O[x]^5/2

In[ ]: = Series[Exp[1/x], {x, Infinity, 3}]

Out[ ] = 1 + 1/x + 1/2 (1/x)² + 1/6 (1/x)³ + O[1/x]⁴

Пакет Математика содержит ряд функций для преобразования выражений.

Функция Expand[expr] – производит все возведения в степень и перемножения в выражении expr.

Пример 13.2: In[ ]:= Expand[(x + 1)(x - 1)] -1 + x².

Функция Factor – производит разложение на множители.

Пример 13.3: In[ ]:= Factor[x^2-1] Out[ ] = (-1+x) (1+x)

Функция TrigExpand[expr] – преобразует тригонометрические и гиперболические функции в выражении expr.

Пример 13.4:

1). In[ ]:= TrigExpand[Cosh[a + b]] Out[ ] = Cosh[a] Cosh[b] + Sinh[a] Sinh[b].

2). Определим многочлен Чебышева:

In[ ]: = P[n_Integer, x_] = Cos[n ArcCos[x]];

С помощью функции TrigExpand можем найти явный вид многочленов Чебышева разной степени:

In[ ]: = Table[TrigExpand[P[k, x]], {k,4}] Out[ ] = {x, -1 + 2 x², -3 x + 4 x³, 1 – 8 x² + 8 x⁴}

Функция Simplify[expr, assum] – осуществляет алгебраические преобразования для упрощения выражения expr, используя допущения assum (необязательный элемент).

Пример 13.5: In[ ]: = Simplify[ Cos[a] Cos[b] – Sin[a] Sin[b] ] Out[ ] = Cos[a + b].

Функция FullSimplify[expr, assum] – упрощает выражение, используя элементарные и специальные функции.

Пример 13.6:

1). In[ ]: = FullSimplify[ Log[8] / Log[2] ] Out[ ] = 3.

2). In[ ]: = FullSimplify[ ArcCos[ Sqrt[ 1 – a^2 ]], a > 0 ] Out[ ] = ArcSin[a].

13.2. Интерполяция

InterpolatingPolynomial[ data, var ] – строит интерполяционный многочлен Ньютона с аргументом var. Исходные данные data для интерполируемой функции f (x)могут быть заданы либо в виде {{ x ₁, f ₁}, { x ₂, f ₂}, …}, либо в виде { f ₁, f ₂, …} в том случае, когда x_i принимает натуральные значения 1, 2, ….

Пример 13.7. In[ ]:= L[x_]=InterpolatingPolynomial[{1, 0, 1, 2}, x]

Out[ ] =

Заметим, что интерполяционный многочлен записан по схеме Горнера – схеме с минимальным количеством умножений (количество умножений равно степени многочлена).

Дата добавления: 2015-07-08