Дифференцирования

Графические зависимости перемещение – время, скорость – время, ускорение – время, принято называть кинематическими диаграммами. Кинематическая диаграмма дает наглядное графическое изображение изменения одного из кинематических параметров движения в зависимости от другого. Рассмотрим

построение диаграммы S_B=S_B(t) “перемещение – время” для ползуна кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис.2.3.

Кривошип вращается равномерно, следовательно, ведущая точка A – палец кривошипа, в одинаковые промежутки времени проходит одинаковые участки пути. Строим две оси координат (рис. 2.2) и на оси абсцисс откладываем отрезок l в миллиметрах, изображающий время одного полного оборота кривошипа (одного цикла) T в масштабе μ_t.

Отрезок l разбиваем на 12 равных частей и в точках 1,2,3,.….,11 откладываем параллельно оси ординат расстояния, равные перемещениям точки B от крайнего левого положения B ₀ ползуна в масштабе перемещений. μ _S. Если отрезки 1-1'= B ₀ B ₁; 2-2'= B ₀ B ₂ и т.д., то линейные масштабные коэффициенты плана механизма и диаграммы перемещений будут одинаковы.

Рис..2.3. Диаграмма перемещений ползуна кривошипно-ползунного механизма

Кривая, плавно соединяющая полученные точки 0,1',2',…..,0', представляет собой диаграмму перемещений, т.е. расстояний точки B ползуна, измеренных от левого крайнего положения S_B=S_B(t).

Времяполного оборота кривошипа Т = 60 /n [с].

Здесь n – частота вращения кривошипа, об/мин. μ _t – масштаб времени, с/мм;

Время Т соответствует длине отрезка l, отложенного по ос абсцисс на рис. 2.3.

Масштабный коэффициент μ _t времени в этой диаграмме будет равен

μ _t = T / l [c/мм].

Метод кинематических диаграмм применяется при анализе и синтезе механизмов в тех случаях, когда задан какой-либо закон движения точки или звена механизма в виде графической зависимости в функции времени.

Обычно при построении кинематических диаграмм используют метод хорд, заменяя заданную кривую графиком в виде ломаной линии. Изобразим диаграмму “перемещение-время” для точки, движущейся прямолинейно (рис..2.4).

Рис. 2.4. Графическое дифференцирование методом хорд

Для этого строим две координатные оси, и ось времени разбиваем на ряд одинаковых отрезков. Точки a, b, c и т.д., обозначающие соответствующие перемещения соединяем ломаной линией. Под диаграммой S=S(t) строим прямоугольную систему координат, и ось времени разбиваем на такие же отрезки, что и на графике перемещения.

От начала координат влево откладываем отрезок H и обозначим полюс P. Из полюса Р проводим прямые Pa'||ab; Pb'||bc; Pc'||cd и т.д. Сносим полученные точки b', c', d' и т.д. на соответствующие участки времени 01, 12, 23 и т.д. и

получаем ступенчатый график скорости. В середине каждого отрезка помечаем точки а ₁, b ₁, c ₁ и т.д. и соединяем их плавной кривой.

Средняя скорость на участке времени 01 (рис. 2.4,а)

V ₀₁ = Δ Ŝ μ _S / [(01) ∙ μ _t ] = (tgα) ∙ μ _S / μ _t. (2.1)

Ордината 0 а′, полученная на графике скоростей (рис. 2.4,б), равна

0 а′= Н ∙ tgα. Таким образом, ордината 0 а′, также как и скорость пропорциональны тангенсу наклона хорды ломаной кривой s=s(t), следовательно, она представляет собой среднюю скорость точки, движущейся прямолинейно в каком-то масштабе μ _V, который можно определить следующим образом.

Из рис. 2.4,б: V ₀₁ = 0 а′∙ μ _V = (Н ∙ tgα) ∙ μ _V. (2.2)

Приравнивая правые части зависимостей (2.1) и (2.2) после преобразования получим формулу для определения масштаба скорости при графическом дифференцировании.

μ _V = μ _S / (μ _t ∙Н).

Если точка движется по замкнутой траектории, то для графического дифференцирования ее перемещение рассматривается вдоль двух взаимно перпендикулярных осей.

Графическое интегрирование осуществляется как действие, обратное графическому дифференцированию.

Метод планов скоростей и ускорений

Наглядное представление о величинах и направлениях скоростей и ускорений отдельных точек механизма дают планы скоростей и ускорений.

Планом скоростей (ускорений) звена называется графическое построение, представляющее собой семейство векторов абсолютных скоростей (ускорений) точек механизма проведенных из одного общего полюса. Построение планов скоростей и ускорений основано на графическом решении векторных уравнений распределения скоростей и ускорений.

Рассмотрим два характерных примера.

Пример 1.

Две точки A и B (рис..2.5) принадлежат одному звену и расположены на расстоянии l_АB.

Зависимость между скоростями точек A и B может быть представлена векторным уравнением

,

т.е. скорость точки B равна геометрической сумме скорости точки A в переносном поступательном движении и скорости точки B во вращательном относительном движении звена относительно точки A, при этом АВ, т.к. траектория точки B в относительном движении вокруг точки A есть окружность с радиусом АВ.

Изобразим скорости точек A и B в масштабе μ_v отрезками O_vа и O_vb, отложенными из одной точки O_v (рис. 2.6). Соединим концы отрезков (точки a и b) прямой линией. Полученный треугольник O_vab называется планом скоростей звена, а точка O_v – полюсом плана скоростей.

Рис. 2.5.	Скорости точек A и B звена ABC	Рис. 2.6.	План скоростей звена ABC

Для определения скоростей остальных точек звена, пример точки C, можно также воспользоваться векторными уравнениями. Однако в тех случаях, когда известны скорости двух точек звена, скорости остальных точек удобнее находить, используя теорему подобия для планов скоростей.

Сформулируем теорему подобия для планов скоростей без доказательства: относительные скорости точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру подобную жесткому звену; при одинаковом направлении обхода этих фигур чередование букв при их вершинах повторяется.

Так, при обходе треугольника abc в том же направлении порядок расположения букв одинаков. Таким образом, при использовании правила подобия в плане скоростей необходимо соблюдать при построении подобных фигур правило обхода контура.

Угловая скорость ω _АВ определяется по формуле

,

где V_BA – относительная скорость точки B во вращательном движении вокруг точки A.

Направление ω _АВ можно определить, если в точке B (рис..2.5) приложить вектор .

Направление относительных скоростей определяется из плана скоростей. При этом отрезок, определяющий относительную скорость, читается обратно обозначению этой скорости. Например, вектор на плане скоростей будет представлен, как «ab», вектор как «bc».

Ускорения точек A и B связаны между собой векторным уравнением

,

т.е. ускорение точки B представляет собой геометрическую сумму ускорения точки A в переносном поступательном движении и ускорения точки B во вращательном относительном движении точки B вокруг точки A.

Полное относительное ускорение складывается в свою очередь из двух составляющих: нормального , направленного к центру относительного вращения, т.е. от точки B к точке A и касательного , направленного перпендикулярно отрезку AB (рис. 2.7).

Следовательно . Модуль нормального ускорения определяем по формуле

,

где ω _АВ – угловая скорость звена ABC, которая определяется из плана скоростей, как указано выше.

На рис. 2.8 представлен план ускорений звена ABC. Ускорения точек A и B изображены на плане в масштабе μ_а отрезками π а' и π b', отложенными из общего полюса π.

Рис. 2.7.	Ускорения точек A и B звена ABC	Рис. 2.8.	План ускорений звена ABC

Для определения ускорения точки C удобно использовать теорему подобия в плане ускорений: полные относительные ускорения точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру подобную жесткому звену; при одинаковом направлении обхода этих фигур чередование букв при их вершинах повторяется. Из плана ускорений можно определить величину и направление углового ускорения звена.

.

Направление углового ускорения определим, если в точке B (рис. 2.7) приложим вектор nb' ускорения .

Дата добавления: 2015-07-07