Правила дифференцирования

1. Производная от суммы функций, умноженных на числа (свойство линейности производной)

.

2. Производная от произведения функций

.

3. Производная от частного

.

4. Производная от обратной функции: пусть , а , т.е. и - взаимно обратные функции, тогда

.

Замечание. При нахождении производной функции по этой формуле после вычисления производной в правой части следует выразить, используя формулу , через .

Пример 1. .

5. Производная сложной функции

.

Замечание. Нижние индексы у функций показывают переменные, по которым производят дифференцирование.

Пример 2. .

6. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Если функции и имеют производные и , тогда функция также имеет производную, причем

,

т. е. производная является функцией параметра , который, однако, может быть иногда исключен с помощью обратной функции .

7. Дифференцирование векторной функции.

Рассмотрим закон движения частицы, описываемый радиус-вектором . Чтобы найти скорость частицы, разложим радиус-вектор по базисным ортам . Тогда .

8. Производная неявной функции.

Пусть функция задана неявным образом, т. е. в виде уравнения . Производную можно найти дифференцированием уравнения по переменной , учитывая, что является функцией этой переменной.

Пример 3. Рассмотрим уравнение, задающее функцию неявным образом, . Продифференцируем это уравнение . Выразим из полученного выражения нужную нам производную . Эта производная является функцией двух переменных и . Заметим, что эту функцию можно, используя уравнение , записать в другом виде .

9. Логарифмическое дифференцирование.

При логарифмическом дифференцировании находится производная не самой функции, а ее логарифма (логарифмическая производная). С помощью такого дифференцирования удобно находить производные от функций вида . Сначала логарифмируем это выражение , а затем находим логарифмическую производную . Легко теперь получить нужную нам производную .

Пример 4. Вычислим производную функции . Вычисляем логарифмическую производную . Окончательно находим .

Также имеет смысл использовать логарифмическое дифференцирование при нахождении производных функций вида , так как .

Пример 5. Вычислим производную функции . Находим логарифм этой функции . Вычисляем логарифмическую производную . Откуда .

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08