Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Лекция 11. Функции от случайных величин

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  3. II. Функции
  4. II.Синдром дисфункции синусового узла (СССУ) I 49.5
  5. III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции
  6. III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
  7. III. Функции Совета

Очень часто при построении математических моделей рассматриваются случайные величины, связанные функциональной зависимостью.

Например, пусть заданы три случайные величины: Х1 – количество дефектных компьютеров из общего числа N штук; Х2 – количество исправных компьютеров из N штук; Х3 – штраф за поставку некондиционного изделия. Тогда случайные величины Х2 и Х3 можно рассматривать как функции от случайной величины Х1

Х2 = f1 (Х1) = N – Х1, Х3 = f2 (Х1) = a Х1 2.

Другие примеры функций от случайных величин: скорость летательного аппарата – функция от высоты, топлива, аэродинамических свойств, плотности атмосферы и т.д.; уровень благосостояния человека – функция от заработной платы, налогов, стоимости продовольственных и промышленных товаров и услуг и т.д.; количество сердечных сокращений – функция от возраста, высоты местности, температуры тела и т.д.

Пусть в общем случае X – случайная величина, определенная на пространстве элементарных событий W, S – поле событий, Y = f (X), тогда Y = f (Х) – случайная величина, которая каждому w Î W ставит в соответствие число Y (w) = f (X (w)).

По определению случайной величины Y = f (Х) будет случайной величиной только в том случае, если {w| Y (w) < yS, для любого у. Другими словами, f (Х) – случайная величина, если для любого y определена вероятность события P (Y < y).

Если X – дискретная случайная величина и Y = f (Х) монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства

yi = f (xi), где xi возможные значения Х, вероятности возможных значений Y находят из равенства P (Y = yi) = P (X = xi). Если же Y = f (Х) немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Пример 1. Случайная величина имеет распределение, заданное рядом распределения

 

x i – 1    
Pi 0,4 0,5 0,1

 

Найдем ряд распределения случайной величины Y = f (Х) = Х 2, y 1 =1, y 2 = 1, y 3 = 4, тогда P (Y = 1) = P (Х = х 1) + P (Х = х 2) = 0,4 + 0,5 = 0,9; P (Y = 4) = Р (Х = х 3) = 0,1.

Полученный ряд распределения Y имеет вид

 

y i    
P i 0,9 0,1

 

Если Х – непрерывная случайная величина, плотность распределения которой известна, то для того, чтобы найти плотность распределения функции Y = f (Х), надо воспользоваться теоремой.

Теорема 1. Пусть Y = f (Х), р (x) – плотность распределения случайной величины Х. Если Y = f (Х) монотонная (т.е. возрастает или убывает), Х – непрерывная случайная величина, то плотность распределения случайной величины Y вычисляется по формуле

 

. (1)

Доказательство.

1. Пусть Y = f (Х) – монотонно возрастающая функция, тогда существует обратная ей, монотонно возрастающая функция X = f -1(Y). Из анализа известно, что если f (Х) монотонно возрастающая, то из f (Х) < х Þ X < f -1(x) (например, f (Х) = 2 Х + 3, 2 Х + 3 < х Û Х < (х –3)/2 = f -1(x)). Тогда функция распределения случайной величины Y = f (Х) равна

 

Fу (x) = P (f (Х) < х) = P (X < f -1(x)) = Fх (f -1(x)).

 

Теперь найдем плотность распределения Y

 

ру (x) = (Fу (x))¢ = . (2)

 

2. Пусть Y = f (Х) – непрерывная монотонно убывающая функция. Тогда и обратная ей функция также монотонно убывающая. Из анализа известно, что если f (Х) монотонно убывающая, то из f(Х)< х Þ X >f-1(x). Тогда функция распределения случайной величины Y = f (Х) равна

 

Fу (x) = P (f (Х) < х) = P (X > f- 1(x)) = 1– P (X £ f- 1(x)) =

= 1– P (X < f- 1(x)) – P (X = f- 1(x)) = 1– Fх (f -1(x).

 

Найдем плотность распределения Y

ру (x) = (1 – Fх (f- 1(x)))¢ = – Fх ¢ (f- 1(x)) = ,

Так как , то ру (x) = (3)

Так как в равенстве (2) , то из (2) и (3) следует, что теорема доказана.

Замечание. Если функция Y = f (Х) в интервале возможных значений Х не монотонная, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить ру (x) в виде суммы

.

Пример 2. Пусть Y = bX + c, Х – непрерывная случайная величина. Тогда по формуле (1) имеем

. (4)

С помощью формулы (4) можно показать, что если

X ~ N (a,σ), то Y = bX + c ~ N (ab + с, s| b |: (5)

 

.

Пусть Y = (X–a)/s, X~N(a, s), т.е. в обозначениях формулы (5) b = , c = – , тогда легко посчитать, что Y ~ N(0;1).

При моделировании технико-экономических показателей очень часто используют случайные величины, имеющие логарифмически нормальное распределение.

Определение 1. Неотрицательная случайная величина Y имеет логарифмическое нормальное распределение, если X = lnY имеет нормальное распределение.

Из определения следует, что если Y имеет логнормальное распределение, то оно может быть представлено в виде Y = eХ, X ~ N (a, s), Х > 0. Найдём плотность распределения рy (x).

, f- 1(x) = lnx, ,

тогда, воспользовавшись формулой (1), получим

 

(6)

График логнормального распределения в отличие от нормального распределения имеет четко выраженную правостороннюю асимметрию (рис. 1)

 

0 х

Рис. 1

 

Пример 3. Найдём функцию и плотность распределения случайной величины, для которой не выполняется условие монотонности.

Пусть Y = X2. Если x £ 0, то Fy (x) = Р (Y < x) = 0 и рy (x) = Fу ¢(x) = 0.

Если x >0, то Fy (x) = P (X 2 < x) = ;

. (7)

Используя данную формулу, найдем плотность распределения квадрата нормальной случайной величины с параметрами а = 0, s = 1.

Пусть Х ~ N (0,1), Y = X 2, тогда при х > 0

, (8)

а при х £ 0, pу (х) = 0.

Задача 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения

 

Х π/4 π/2 3 π/4
Р 0,2 0,7 0,1

 

Найти закон распределения случайной величины Y = Sin (X).

Задача 2. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (0,π). Найти плотность распределения py (x) случайной величины Y = Cos (X).

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 198 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ЛЕКЦИЯ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | Распределение Бернулли | ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ | Доказательство. | Свойства непрерывной случайной величины | Равномерное распределение | Нормальное распределение | ЛЕКЦИЯ 8. ПОНЯТИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ | ЛЕКЦИЯ 9. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ | Плотность вероятностей двумерной случайной величины |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ЛЕКЦИЯ 10. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ| ЛЕКЦИЯ 12. ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)