Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Нормальное распределение. Определение 7

Читайте также:
  1. I. Общее распределение по полу, возрасту, национальности, месту рожде­ния и детства, общему обучению
  2. III. Распределение часов курса по темам и видам работ
  3. Генератор кода. Распределение памяти. Виды переменных
  4. Гипергеометрическое распределение.
  5. Глава 7. Распределение
  6. Глава 7. Распределение.
  7. Доходы и их распределение.

 

Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если

, s>0. (5)

 

Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N (a; s).

Покажем, что p (x) – плотность

 

(показано в лекции 6).

 

График плотности нормального распределения (рис. 3) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Рис.3

 

Плотность распределения симметрична относительно прямой х = a. Если х ® ¥, то р (х) ® 0. При уменьшении s график «стягивается» к оси симметрии х = a.

Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет «примерно» нормальное распределение.

Так как – плотность нормального закона распределения с параметрами а = 0 и s =1, то функция = Ф (х), с помощью которой вычисляется вероятность , является функцией распределения нормального распределения с параметрами а = 0 и s =1.

Функцию распределения случайной величины Х с произвольными параметрами а, s можно выразить через Ф (х) – функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами а = 0 и s =1.

Пусть Х ~ N (a;s), тогда

 

. (6)

 

Сделаем замену переменных под знаком интеграла , получим

=

F (x) = . (7)

В практических приложениях теории вероятностей часто требуется найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного отрезка . В соответствии с формулой (7) эту вероятность можно найти по табличным значениям функции Лапласа

. (8)

Найдем медиану нормальной случайной величины Х ~ N (a; s). Так как плотность распределения р(х) симметрична относительно оси х = а, то

 

р (х < a) = p (x > a) = 0,5.

 

Следовательно, медиана нормальной случайной величины совпадает с параметром а:

Х 0,5 = а.

 

Задача 1. Поезда в метро идут с интервалом в 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придется ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) мин. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать ближайший поезд не более 0,5 мин.

Решение. Очевидно, что p(x) = 1/2. Тогда, Р0,5 = Р( 1,5 <X< 2 ) = = 0,25

Задача 2. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Предполагается, что средняя длина пробега автомобиля с новым двигателем – 160 тыс. км, со стандартным отклонением – σ = 30 тыс.км. Чему равна вероятность, что до первого ремонта число км. пробега автомобиля будет находиться в пределах от 100 тыс. км. до 180 тыс. км.

 

Решение. Р(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 193 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Последовательность испытаний. Формула Бернулли | ЛЕКЦИЯ 3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА | Доказательство. | Пример 1. | Основные свойства функции распределения | ЛЕКЦИЯ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | Распределение Бернулли | ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ | Доказательство. | Свойства непрерывной случайной величины |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Равномерное распределение| ЛЕКЦИЯ 8. ПОНЯТИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)