Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные свойства функции распределения

Читайте также:
  1. I. Общие свойства хрящевых тканей
  2. I. Основные сведения
  3. I. Основные сведения
  4. I. СВОЙСТВА АТМОСФЕРЫ.
  5. II. Основные задачи и функции
  6. II. Основные элементы гиалиновой хрящевой ткани
  7. II. Основные элементы ткани

1. Функция распределения принимает значения из промежутка [0, 1], т.е.

 

0 ≤ F (x) ≤ 1.

 

Это свойство следует из определения функции распределения.

2. Если х2 1, то

3.

P (x 1X < x 2 ) = F (x 2)- F (x 1). (1)

 

Доказательство. Представим событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, меньшее х 2, в виде суммы несовместных событий –

 

{w: X (w) < x 2} = {w: X (w)< х 1} È {w: x 1 X (w) < x 2}.

 

Так как события несовместные, применим аксиому 3 –

 

P (X < x 2) = P (X < x 1) + P (x 1 X < x 2),

 

но P (X < x 2) = F (x 2), P (X < x 1) = F (x 1), следовательно

 

F (x 2) = F (x 1) + P (x 1 X < x 2), (2)

 

а это и означает, что P (x 1X < x 2 ) = F (x 2)– F (x 1).

 

4. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. если

x 2 > x 1 => F (x 2) ≥ F (x 1).

 

Доказательство. Если x 2 > x 1, то справедливо соотношение (2). Но, согласно

 

аксиоме 1 P(x 1 X < x 2) ≥ 0,

следовательно, F (x 2) ≥ F (x 1).

 

5. P (Xx) = 1- F (x).

 

Доказательство. События {w: X (w) ≥ x} и {w: X (w) < x } – противоположные события, так как они несовместные и

 

{w: X (w) ≥ x }È{w: X (w) < x } = Ω, следовательно,

 

Р {w: X (w) ≥ x } + Р {w: X (w) < x }=1, тогда Р (X (w) ≥ x) = 1– Р (X (w) < x) = 1 – F (x).

 

6. Если х ® ¥, то .

 

Доказательство. Пусть x 1, …, x n …– бесконечно возрастающая числовая последовательность, xn → ∞ при n → ∞, надо доказать, что .

Рассмотрим последовательность несовместных событий А 1, А 2, …, А n, …

 

А 1 = {w: X (w)< x 1}, А 2 = {w: x 1 X (w) < x 2}, …, A n = {w: x n-1 X (w) < x n}, n = 3, 4, …

 

Очевидно, что событие {w: X (w) < x n} можно представить в виде суммы событий А 1, А 2, …, А n

{w: X (w) < x n}= .

Так как события Ai несовместны, то по аксиоме сложения

.

Легко видеть, что событие, равное сумме всех событий Аi, является достоверным событием, т.е.

= Ω.

Тогда по аксиоме 2 и аксиоме 3` имеем

.

Замечание. Мы не пишем , так как не определен предельный переход под знаком вероятности.

6. Если x → - ∞, то F (x) → 0.

7. Функция распределения непрерывна слева, т.е. .

Свойства 6, 7 можно доказать при помощи аксиомы непрерывности, которая является альтернативной по отношению к аксиоме 3`. То есть в аксиоматику теории вероятностей вместо аксиомы 3` можно включить аксиому непрерывности, тогда аксиому 3` можно будет доказать как теорему и наоборот, аксиому непрерывности можно доказать с использованием аксиомы 3`.

Аксиома непрерывности. Пусть A 1, A 2,.., An, … – последовательность событий из S, причём A 1 A 2 A 3 An … и , тогда .

Доказательство свойства 6. Рассмотрим произвольную бесконечно убывающую монотонную последовательность

 

x1 > x2 >…> xn >…, причём xn →-∞, n →∞.

 

Рассмотрим последовательность событий A 1, …, An, …, Аn ={w: (Х < хn) }. По определению Р (Аn) = Р (Х< хn) = F (хn). Очевидно, что последовательность событий A1, A2,..., An удовлетворяет условиям аксиомы непрерывности:

A 1 A 2 A 3 An … и .

Тогда, , следовательно

.

График функции распределения F(x) изображен на рис.1.

 

 

Рис.1.

Приведем доказательство аксиомы непрерывности. Пусть даны события A 1, A 2,..., An, … и A 1 A 2 A 3 An … и .

Тогда, перейдя к противоположным событиям, получим

1 Ì 2 Ì 3 Ì…. n Ì …., n = .

Представим события и n в виде сумм несовместных событий

n = 1 È (А12) È (А23) È…È (Аn-1\Аn)

= 1 È (А12) È (А23) È…È (Аn-1\Аn) È…

 

Убедиться в правильности этих равенств можно при помощи диаграмм Эйлера–Вена.

Используя расширенную аксиому сложения, получим

 

Р() = Р( 1) + Р(А12) + Р(А23) +…+ Р(Аn-1\Аn) +…=

= (Р( 1) + Р(А12) + Р(А23) +…+ Р(Аn-1\Аn)) =

= Р( 1 È (А12) È (А23) È…È (Аn-1\Аn)) = Р( n).

 

Следовательно, Р() = Р( n), но Р(А) = 1–Р(), тогда Р(А) = 1–Р() =

=1– Р( n) = (1–Р( n)) = , т.е. получили, что = Р(А).

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 185 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ | Классическое определение вероятности | ЛЕКЦИЯ 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ | Статистическое определение вероятности | Последовательность испытаний. Формула Бернулли | ЛЕКЦИЯ 3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА | Доказательство. | Распределение Бернулли | ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ | Доказательство. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Пример 1.| ЛЕКЦИЯ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)