Рівняння сферичного руху твердого тіла

Рух твердого тіла, при якому одна його точка залишається нерухомою, називається сферичним.

Прикладами такого руху є рух конічних коліс, рух універсального шарніра, кардана, обертання гіроскопа в карданному підвісі тощо.

При сферичному русі всі точки тіла рухаються по поверхнях сфер. Радіус сфери, по поверхні якої рухається дана точка, дорівнює відстані від розглядуваної точки тіла до його нерухомої точки. Тіло, що здійснює сферичний рух, має три ступені вільності.

Нехай Охуz - рухома декартова система координат, яка незмінно пов'язана з тілом, а - нерухома в просторі система координат. Положення твердого тіла в просторі визначатиметься положенням рухомої системи координат відносно нерухомої (рис. 22.1).

Леонард Ейлер запропонував зручний метод визначення положення тіла з нерухомою точкою, використавши певні кути.

Щоб запровадити кути Ейлера, розглянемо перетин площин хОу і . Лінія ОN перетину цих площин називається лінією вузлів. Вона перпендикулярна до осей і Оz, а отже перпендикулярна й до площини Оz. За додатний напрямок лінії вузлів беруть напрямок ОN у той бік, з якого перехід за допомогою повороту від нерухомої осі до осі Оz рухомої системи на менший кут відбувається проти ходу стрілки годинника.

Кути Ейлера такі:

1) кут власного обертання NОx;

2) кут прецесії ОN;

3) кут нутації Оz (див. рис. 22.1).

Власним обертанням твердого тіла називається такий його рух, при якому змінюється лише один кут ; віссю власного обертання є вісь Оz. Прецесією називається такий рух тіла, при якому змінюється лише кут ; віссю прецесії є пряма О . Нутацією називається рух тіла, зумовлений зміною кута ; віссю нутації є лінія вузлів. Кожний з трьох кутів Ейлера відлічують проти руху стрілки годинника, якщо дивитись з додатного напрямку відповідної осі обертання.

Тверде тіло з нерухомою точкою можна довільно перемістити за допомогою трьох послідовних поворотів тіла, у кожному з яких змінюється лише один з кутів Ейлера.

При русі твердого тіла кути Ейлера змінюються, тому вони є функціями часу:

(22.1)

Якщо кути , , відомі як функції часу, то закон руху твердого тіла навколо нерухомої точки відомий. Рівності (22.1) називаються рівняннями руху твердого тіла навколо нерухомої точки.

Дата добавления: 2015-07-07