Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Элементарные методы обработки рядов динамики

Читайте также:
  1. I закон термодинамики
  2. I. Экспертные оценочные методы
  3. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  4. II. Категории и методы политологии.
  5. II. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  6. II. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  7. III. Методы оценки степени кровопотери.

Динамический или временной ряд — это совокупность значений изу­чаемого показателя, относящихся к некоторым последовательным интер­валам или моментам времени; в первом случае ряд называется интерваль­ным, во втором — моментным. Временной интервал, заложенный в осно­ву ряда, чаще всего предполагается постоянным (год, месяц, день и т.п.).

Пример интервального ряда: данные о годовом товарообороте магазина за ряд лет; пример моментного ряда: данные о стоимости основных средств данного магазина на начало года за ряд лет.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно мож­но подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;

2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3. случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они форми­руют его возрастающую или убывающую тенденцию, т.е. устойчивое изменение во времени.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от­раслей зависит от времени года (например, цены на сельскохо­зяйственную продукцию в летний период ниже, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъ­юнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой нахо­дится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цик­лическую компоненту, а каждый следующий их уровень определяет случайная компонента.

Очевидно, что реальные данные не соответствуют полно­стью ни одной из описанных выше моделей. Чаще всего они со­держат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендо­вой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компо­нент, называется аддитивной моделью временного ряда.

Аддитивная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид аддитивной мо­дели выглядит так:

Y=T+S+E (23)

Мультипликативная модель предполагает, что каждый уровень времен­ного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент.

Y=T*S*E (24)

Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных ко­лебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрас­тает или уменьшается, строят мультипликативную модель вре­менного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от зна­чений сезонной компоненты.



Иллюстративно это выглядит следующим образом:

Рис.2 Визуальная интерпретация мультипликативной и аддитивной моделей

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T,S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Загрузка...

Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.

Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) в адди­тивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.

Шаг 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного урав­нения тренда.

Шаг 5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т*S)

Шаг 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

 

Рассмотрим методику построения аддитивной модели вре­менного ряда на примере.

Обратимся к условным данным объема продаж ОАО «Нэфис косметикс» синтетического моющего средства Sorti Automat Inteltest через дистрибьютерскую сеть центрального региона в 2009-2012 г.г.. Предположим, предприятие условно подразделяет производимую продукцию на нижний, средний и верхний ценовой уровни, динамика продаж изделий каждого уровня отличается в зависимости от географических сегментов сбыта, каналов дистрибуции и т.д, поэтому для целей прогнозного анализа целесообразно раздельное изучение показателей тренда для каждого из наименований выпускаемой продукции в разрезе указанных критериев.

 

Таблица 9

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели в 2009-2012 г.г.

Номер кварта­ла Объем продаж, млн. руб. Итого за четыре квартала Скользящая средняя за че­тыре квартала Сглаженная скользящая средняя Оценка се­зонной ком­поненты
1 2 3 4 5 6
6,0 - - - -
4,4 24,4 6,10 - -
5,0 25,6 6,40 6,250 -1,250
9,0 26,0 6,50 6,450 2,550
7,2 27,0 6,75 6,625 0,575
4,8 28,0 7,00 6,875 -2,075
6,0 28,8 7,20 7,100 -1,100
10,0 29,6 7,40 7,300 2,700
8,0 30,0 7,50 7,450 0,550
5,6 31,0 7,75 7,625 -2,025
6,4 32,0 8,00 7,875 -1,475
11,0 33,0 8,25 8,125 2,875
9,0 33,6 8,40 8,325 0,675
6,6 33,4 8,35 8,375 -1,775
7,0 - - - -
10,8 - - - -

Графическая интерпретация продаж демонстрирует сезонные колебания, которые можно признать равномерными. Объемы продаж в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (см. рис.3) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельст­вует о соответствии этого ряда аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

- просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и опреде­лим условные годовые объемы продаж гр.3 табл.9);

- разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл.9). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

- приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - сглаженные скользя­щие средние (гр.5 табл.9).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и сглаженными скользя­щими средними (гр.6 табл. 9.). Используем эти оценки для рас­чета значений сезонной компоненты S (табл.10).

Таблица 10

Расчет значений сезонной компоненты в аддитив­ной модели

  Год Квартал
I II III IV
    -1,25 2,55
0,575 -2,075 -1,1 2,7
0,55 -2,025 -1,475 2,875
0,675 -1,775    
Итого за квартал 1,8 -5,875 -3,825 8,125
Средняя 0,6 -1,95833 -1,275 2,708333
Скорректированная средняя 0,58125 -1,97708 -1,29375 2,689583

 

Определим за каждый квартал (по всем годам) средние оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Для данной модели имеем:

0,6 - 1,958 - 1,275 + 2,708 = 0,075.

Определим корректирующий коэффициент:

к = 0,075 /4 = 0,01875.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компо­ненты как разность между ее средней оценкой и корректирую­щим коэффициентом к:

(25)

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезон­ной компоненты:

0,581 - 1,977 - 1,294 + 2,690 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: S1 = 0,581;

2 квартал: S2 = -1,977;

3 квартал: S3 = -1,294;

4 квартал: S4 = 2,690.

Занесем полученные значения в табл.11 для соответст­вующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вы­читая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: Т + Е = у - S (табл.11). Эти значения рассчитыва­ются для каждого момента времени и содержат только тенден­цию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + Е) с помощью линейного тренда.

В специализированной литературе достаточно подробно рассматриваются статистические методы выбора одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда и оценки параметров выбранных кривых [1]. В этой связи мы не будем вдаваться в суть указанного инструментария, а рассмотрим упрощенный алгоритм определения уравнения динамики трендовой составляющей динамического ряда (Т) средствами MS «Excel».

Для проведения прогноза в Excel, где построена линейная диаграмма по таблице 9, на базе линии сглаженной скользящей средней, отражающей наиболее общую сложившуюся динамику продаж определяется линия тренда. Щелкнув правой кнопкой мыши на линии центрированной средней диаграммы, пользователь увидит, что система предложит на выбор прогнозирование при помощи степенной, логарифмической, линейной, экспоненциальной, полиномиальной функций. То уравнение, которое имеет коэффициент аппроксимации R2 наиболее близкий к 1, отражает динамику продаж максимально точно – его уравнение и используется для прогнозирования.

В данном случае нами был выбран для использования линейный тренд, как имеющий высокую степень аппроксимации.

 

 

Рис.3 Объем продаж Sorti Automat Inteltest через дистрибьютерскую сеть центрального региона

Таким образом, имеем линейный тренд:

 

Y= 0,201x + 5,6564

 

Подставив в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (5 гр. в табл.11). Гра­фик уравнения тренда приведен на рис.1.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по ад­дитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения се­зонной компоненты для соответствующих кварталов. Графиче­ски значения T+S представлены на рис.3.

 

 

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитив­ной модели расчет ошибки проводится по формуле

E=Y-(T+S) (26)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл.11. Эту же ошибку можно опре­делить как разность между значениями (Т + Е) и Т.

 

Таблица 11

Расчет выровненных значений и ошибок в адди­тивной модели

t y S T+E=y-S Т T+S E=y-(T+S) Et/yt
4 (2-3) 6 (5+3) 7(2-6) 8(7/2)
0,58125 5,41875 5,8574 6,43865 -0,43865 -0,07311
4,4 -1,97708 6,37708 6,0584 4,08132 0,31868 0,072427
-1,29375 6,29375 6,2594 4,96565 0,03435 0,00687
2,689583 6,310417 6,4604 9,149983 -0,14998 -0,01666
7,2 0,58125 6,61875 6,6614 7,24265 -0,04265 -0,00592
4,8 -1,97708 6,77708 6,8624 4,88532 -0,08532 -0,01777
-1,29375 7,29375 7,0634 5,76965 0,23035 0,038392
2,689583 7,310417 7,2644 9,953983 0,046017 0,004602
0,58125 7,41875 7,4654 8,04665 -0,04665 -0,00583
5,6 -1,97708 7,57708 7,6664 5,68932 -0,08932 -0,01595
6,4 -1,29375 7,69375 7,8674 6,57365 -0,17365 -0,02713
2,689583 8,310417 8,0684 10,75798 0,242017 0,022002
0,58125 8,41875 8,2694 8,85065 0,14935 0,016594
6,6 -1,97708 8,57708 8,4704 6,49332 0,10668 0,016164
-1,29375 8,29375 8,6714 7,37765 -0,37765 -0,05395
10,8 2,689583 8,110417 8,8724 11,56198 -0,76198 -0,07055

 

На основании полученных данных спрогнозируем объем продаж в первом и втором квартале 2013 года (17 и 18 периодах).

Y= 0,201x + 5,6564

Y17=0,201*17+5,6564 = 9,0734 млн. руб.

Y18=0,201*18+5,6564 = 9,2744 млн. руб.

Значения сезонной компоненты равны S1=0,581 (1 квартал) и S2=-1,977 (2 квартал). Таким образом,

Y17 корр.= 9,0734+0,581= 9,6544 млн. руб.

Y18 корр. =9,2744-1,977 = 7,2974 млн. руб.

 

Точность построенной модели можно определить при помощи показателя средней (по модулю) относительной ошибки, которая вычисляется по формуле:

 

(27)

В нашем примере Еотн=0,463921/16*100 =2,89%

Величина 0,463921 получена суммированием показателей столбца 9 таблицы 11 по модулю.

Таким образом, значение объема продаж, рассчитанные с использованием уравнения временного тренда, скорректированного на показатель сезонности, отличаются от фактических значений уровней динамического ряда в среднем на 2,89%, что, в целом, положительно характеризует качество проведенного прогноза.

Как было ранее отмечено, мо­дель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативиой мо­делью временного ряда.

Рассмотрим методику построения мультипликативной мо­дели временного ряда на примере.

Пусть имеются поквартальные данные о при­были от продаж жидких моющих средств ОАО «Нэфис Косметикс» за 2009-2012 г.г. (табл. 12).

График данного временного ряда (рис.4) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен четы­рем) и общей убывающей тенденции ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. По­скольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается можно предположить наличие мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом этапе, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Результаты расчетов представлены в табл.12

 

Таблица 12

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели в 2009-2012 г.г.

Номер кварта­ла Прибыль продаж, млн. руб. Итого за четыре квартала Скользящая средняя за че­тыре квартала Сглаженная скользящая средняя Оценка се­зонной ком­поненты
1 2 3 4 5 6
- - - -
81,5 - -
81,25 1,1077
0,8000
76,5 77,75 0,9003
75,75 1,2145
1,0811
71,5 0,8112
68,5 0,9051
64,5 65,75 1,2167
63,25 1,0751
59,5 0,8067
52,5 54,75 0,9498
50,25 1,1940
- - - -
- - - -

 

 

 

Рис.4 При­быль от продаж жидких моющих средств ОАО «Нэфис Косметикс» за 2009-2012 г.г.

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на сглаженные скользя­щие средние (гр.6 табл.12). Используем эти оценки для расчета сезонной компоненты S (табл.13). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле, т.е. четырем, так как в нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам.

Таблица 13

Расчет значений сезонной компоненты в мультип­ликативной модели

  Год Квартал
I II III IV
    1,10769231 0,8
0,90032154 1,21452145 1,08108108 0,81118881
0,9051 1,2167 1,0751 0,8067
0,9498 1,1940    
Итого за квартал 2,75520272 3,62528134 3,2638722 2,4179115
Средняя 0,91840091 1,20842711 1,0879574 0,8059705
Скорректированная средняя 0,91365994 1,20218898 1,08234115 0,80180992

 

Для данной модели имеем:

0,918 + 1,208 + 1,088 + 0,806 = 4,021.

Нескорректированные средние показывают отклонения фактических значений прибыли от продаж от скользящей средней и отражают как сезонную, так и остаточную вариации. Нас же интересует только остаточная вариация, так, что мы должны скорректировать средние для удаления элемента остаточной вариации. Как было указано, в долгосрочном плане величина превышения прибыли от продаж над трендом в удачные кварталы должна уравниваться с величиной, на которую прибыль от продаж ниже тренда в неудачные кварталы, чтобы сезонные компоненты в сумме составили примерно 4. В данном случае нескорректированные средние в сумме составляют 4,021.

Мы должны умножить каждое среднее значение на корректирующие значения, чтобы в сумме средние давали 4.

Рассчитаем корректирующий коэффициент: к=4/4,021 =0,995.

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэф­фициент к:

(28)

Проверим условие равенства четырем суммы значений се­зонной компоненты:

0,914 + 1,202 + 1,082 + 0,802 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: S1 = 0,914;

2 квартал: S2 = 1,202;

3 квартал: S3 = 1,082;

4 квартал: S4 = 0,802.

 

Занесем полученные значения в табл.14 для соответст­вующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соот­ветствующее значение сезонной компоненты. Получим: Т * Е = Y / S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

 

Таблица 14

Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t y S Т*Е = Y/S Т T*S Et =у -(Т*S) Et/Y
4 (2/3) 6 (5*3) 7 (2-6) 8(7/2)
0,91366 78,80394 89,1309 81,44 -9,43533 -0,13105
1,202189 83,1816 86,3818 102,21 -2,21000 -0,0221
1,082341 83,15308 83,6327 89,02 0,98000 0,010889
0,80181 79,81942 80,8836 63,72 0,28000 0,004375
0,91366 76,61494 78,1345 70,08 -0,08000 -0,00114
1,202189 76,52707 75,3854 88,87 3,13000 0,034022
1,082341 73,91385 72,6363 77,01 2,99000 0,037375
0,80181 72,33635 69,8872 54,83 3,17000 0,054655
0,91366 67,85895 67,1381 59,94 2,06000 0,033226
1,202189 66,54528 64,389 75,54 4,46000 0,05575
1,082341 62,82677 61,6399 3,00000 0,044118
0,80181 59,86456 58,8908 45,93 2,07000 0,043125
0,91366 56,91395 56,1417 49,81 2,19000 0,042115
1,202189 49,90896 53,3926 62,2 -2,20000 -0,03667
1,082341 46,19616 50,6435 -3,00000 -0,06
0,80181 37,41535 47,8944 37,04 -7,04000 -0,23467

 

Аналогично случаю с аддитивной модели определим уравнения тренда на базе сглаженной скользящей средней средствами Excel.

Выберем в качестве уравнения тренда линейную функцию, как имеющую высокий коэффициент аппроксимации R2

Y=-2,7491х+91,888

Значения столбца 5 таблицы 14 получаются путем подстановки в указанное уравнения номера соответствующего квартала.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов (см. рис.4).

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели как и в предыдущем случае производится по формуле

(29)

 

На основании полученных данных спрогнозируем прибыль от продаж в первом и втором квартале 2013 года (17 и 18 периодах).

Y17 = -2,7491*17+91,888 = 45,1453

Y18 = -2,7491*18+91,888 = 42,3962

 

Y17 корр .= 45,1453*0,914=41,263 млн. руб.

Y18 корр. =42,3962*1,202 = 50,96 млн. руб.

 

Точность построенной модели можно определить при помощи показателя средней (по модулю) относительной ошибки, которая вычисляется по формуле 27:

В нашем примере Еотн=0,84528/16*100 =5,283%

Величина 0,84528 получена суммированием показателей столбца 8 таблицы 14 по модулю.


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 270 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Вопрос 1. Метод экономического анализа и его особенности. | Вопрос 2. Логические способы обработки информации в экономическом анализе | Разработка системы показателей | Построение аналитических таблиц и использование графического метода исследования | Сравнение – это метод познания, когда изучаемые явления или предмет, сопоставляются с уже известными, с целью определения общих черт или различий между ними. | Балансовый метод | I. Способ цепных подстановок. | III. Интегральный метод. | Вопрос 5. Способы стохастического анализа. | Имитационное моделирование |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод относительных и средних величин| Вопрос 4. Способы детерминированного факторного анализа.

mybiblioteka.su - 2015-2017 год. (0.199 сек.)