(2.15). 8 страница

Скорость приспособления и наклон седловой траектории

Уравнения (2.23) и (2.24) задают и как функции от и . Одним из эффективных методов количественного анализа динамики является замена данных нелинейных уравнений их линейной аппроксимацией в окрестности траектории сбалансированного роста. Воспользуемся разложением первого порядка уравнений (2.23) и (2.24) в ряд Тейлора в окрестности , . Имеем:

, (2.25)

, (2.26)

Здесь значения производных , , и берутся в точке , . Будем считать соотношения (2.25) и (2.26) точными, и проведем анализ полученной системы.[17]

Введем обозначения и . Так как и постоянны, равняется , а равняется . Мы можем переписать (2.25) и (2.26) в виде

, (2.27)

. (2.28)

(Как и раньше, все производные взяты в точке , .) Вспомним, что (уравнение [2.23]). Воспользуемся этим уравнением для вычисления производных в (2.27) в точке , . Получаем:

. (2.29)

Аналогично, воспользуемся уравнением (2.24) , чтобы найти производные в (2.28). Имеем:

, (2.30)

Во второй строчке мы учли, что из (2.23) следует , а в третьей воспользовались тем, что равно . Разделив обе части равенства (2.29) на , а (2.30) - на , получаем уравнения для темпов роста и :

, (2.31)

. (2.32)

Из уравнений (2.31) и (2.32) следует, что темпы роста и зависят только от соотношения к . Рассмотрим, что произойдет, если значения и таковы, что и падают с одинаковым темпом (т.е., если ). Это означает, что отношение к постоянно, следовательно, их темпы роста также постоянны. Поэтому и продолжают падать с одинаковым темпом. На фазовой плоскости, начиная от точки, где и снижаются с одинаковым темпом, экономика движется по прямой линии к точке , при этом расстояние до сокращается с постоянным темпом.

Пусть обозначает . Соотношение (2.31) можно переписать в виде

. (2.33)

Из (2.32) и равенства и следует

, (2.34)

или

. (2.35)

Мы получили квадратное уравнение относительно . Его решения

(2.36)

Обозначим через и полученные таким образом значения .

Если положительно, то и растут; в этом случае вместо того, чтобы двигаться вдоль прямой линии к точке , экономика движется вдоль прямой линии, удаляясь от . Таким образом, чтобы экономика стремилась к точке , необходимо, чтобы значение было отрицательным. Анализ (2.36) показывает, что только одно значение , а именно , является отрицательным. Предположим для определенности, что это . Таким образом, соотношение (2.33) (при ) показывает нам, как должны соотноситься и для того, чтобы они снижались с одинаковым темпом .

На рисунке 2.7 показана прямая, вдоль которой экономика сходится к точке ; эта прямая обозначена через АА. Она является седловой траекторией линеаризованной системы. На рисунке также показана прямая, вдоль которой экономика удаляется от точки ; она обозначена через ВВ. Если начальные значения и находятся на этой прямой, то, как следует из (2.31) и (2.32), значения и будут расти с темпом .[18] Так как отрицательно, из (2.33) следует, что отношение к имеет знак, противоположный . Следовательно, седловая траектория АА имеет положительный наклон, а прямая ВВ – отрицательный.

В результате линеаризации уравнений для и для , мы получили экономику, динамика которой легко описывается через её параметры. В момент 0, должно скачкообразно изменится до значения . После этого и стремятся к их значениям на траектории сбалансированного роста с темпом . Таким образом, и .[19]

Скорость сходимости

Чтобы оценить, какая скорость сходимости к траектории сбалансированного роста следует из соотношения (2.36), воспользуемся нашим обычным предположением о том, что производство описывается функцией Кобба-Дугласа, . Потребление на траектории сбалансированного роста может быть найдено как выпуск за вычетом восстанавливающих инвестиций, т.е. равно . Следовательно, выражение для можно записать в следующем виде:

Дата добавления: 2015-11-04