(2.15). 3 страница

Задача максимизации полезности домашних хозяйств.

Репрезентативное домашнее хозяйства максимизирует интегральную функции полезности при условии выполнения бюджетного ограничения. Как и в модели Солоу, легче работать с переменными, выраженными на единицу эффективного труда. Для этого выразим функцию полезности и бюджетное ограничение через потребление и трудовой доход в расчете на единицу эффективного труда.

Начнем с функции полезности. Пусть - потребление на единицу эффективного труда. Тогда потребление на одного работника равно . Мгновенная функция полезности домашних хозяйств может быть переписана в следующем виде:

(2.11)

Подставляя (2.11) и выражение в целевую функцию домаших хозяйств (2.1) – (2.2), получаем

(2.12)

где , а . В (2.2) мы предположили, что положительно.

Теперь рассмотрим бюджетное ограничение (2.6). Совокупное потребление домашнего хозяйства в момент , , равно потреблению на единицу эффективного труда умноженному на количество эффективного труда, которым владеет домашнее хозяйство, . Аналогично, весь трудовой доход домашнего хозяйства в момент времени равен заработной плате на единицу эффективного труда , умноженной на количество эффективного труда . Аналогично, его начальное богатство равно капиталовооруженности эффективного труда в момент , , умноженной на . Следовательно, мы можем переписать (2.6) в следующей форме:

(2.13)

равно . Подставим это в (2.13) и разделим обе части неравенства на . Получаем

(2.14)

Поскольку совокупный капитал в экономике пропорционален , можно переписать условие отсутствия пирамиды (2.10) в виде

(2.15).

Поведение домашнего хозяйства

Задача домашнего хозяйства состоит в том, чтобы выбрать траекторию , максимизирующую функцию полезности (2.12) при бюджетном ограничении (2.14). Несмотря на то, что это требует выбора в каждый момент времени (в отличие от стандартной задачи максимизации, где требуется выбрать конечное число значений переменных), можно использовать стандартную технику максимизации. Поскольку предельная полезность потребления всегда положительна, бюджетное ограничение домашнего хозяйства выполняется как равенство. Следовательно, можно составить Лагранжиан[7] из целевой функции (2.12) и бюджетного ограничения (2.14):

(2.16)

Домашнее хозяйство выбирает в каждый момент времени; следовательно, оно выбирает бесконечно много значений . Условие первого порядка для каждого имеет вид[8]

(2.17)

Поведение домашних хозяйств описывается уравнением (2.17) и бюджетным ограничением (2.14).

Чтобы понять, какая динамика потребления следует из уравнения (2.17), сначала прологарифмируем обе части (2.17):

(2.18)

Во второй строчке использовано, что , по определению, равно . Поскольку левая и правая части уравнения (2.18) равны для любого , их производные по также должны быть равны между собой. Получаем

(2.19)

При выводе уравнения (2.19) мы использовали тот факт, что производная логарифма какой-либо переменной равна её темпу роста. Выражая из (2.19), получаем

(2.20)

Здесь использовано, что обозначает выражение .

Проинтерпретируем уравнение (2.20). Поскольку потребление на одного работника (не путать с потреблением на единицу эффективного труда!) равно , темп роста равен темпу роста плюс темп роста . Таким образом, уравнение (2.20) означает, что потребление на одного работника растет с темпом . Согласно уравнению (2.20) потребление на одного работника растет во времени, если реальная ставка процента превышает норму дисконта, которая используется домашними хозяйствами для дисконтирования будущего потребления, и падает во времени в обратном случае. Чем меньше значение , тем меньше изменяется предельная полезность при изменении потребления, и тем больше изменения в потреблении, вызванные изменением разницы между реальной ставкой процента и нормой дисконта.

Соотношение (2.20) называется уравнением Эйлера для данной задачи максимизации. Чтобы получить это уравнение из интуитивных соображений, рассмотрим потребление в два близких друг к другу момента времени.[9] Предположим, что домашнее хозяйство снижает потребление в момент на небольшую (формально - бесконечно малую) величину , инвестирует накопленные таким образом дополнительные сбережения в течение небольшого (формально – бесконечно малого) интервала времени , и увеличивает потребление на соответствующую величину в момент ; при этом потребление и сбережения в любой другой момент времени (кроме и ) остаются неизменными. Если мы находимся в оптимуме, то приращение интегральной полезности должно равняться нулю. Из соотношения (2.12) следует, что предельная полезность в точке равна . Поэтому потеря полезности от снижения потребления в результате такой операции составит . Поскольку норма отдачи равна , потребление в момент времени возрастет на величину . Аналогично, поскольку темп роста равен , можно записать в виде . Предельная полезность в точке равна . Следовательно, для того, чтобы выбранная траектория потребления максимизировала функцию полезности, она должна удовлетворять следующему условию:

Дата добавления: 2015-11-04