Таблица 3. Расчетные данные по степенной модели регрессии
; 
Линеаризованное уравнение регрессии будет иметь вид: 
.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения. В результате получим степенную модель регрессии:
= 
.
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем у и фактором х можно считать умеренной.
Коэффициент детерминации равен: 
0,2298, т.е. вариация результата на 22,98% объясняется вариацией фактора х.
Рассчитаем F-критерий Фишера:
.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо, так как Fp < Fт (1,492 < 6,61).
Средняя относительная ошибка: 
, т.е. в среднем расчетные значения 
для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,35% (рис. 2).
3. Построение показательной функции.
Уравнение показательной функции имеет вид: 
. Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: 
Обозначим: 
Получим линеаризованное уравнение регрессии 
и рассчитаем его параметры (табл. 4).
Рис. 2. Графики степенной модели
Таблица 4. Расчетные значения линеаризованной показательной модели
. 
Уравнение имеет вид: 
. Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения
.
Определим индекс корреляции: 
.
Связь между показателем у и фактором х можно считать умеренной.
0,2156, т.е. вариация итога у на 21,56% объясняется вариацией х.
Рассчитаем F-критерий Фишера:
.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо, так как Fp < Fт (1,374 < 6,61).
Средняя относительная ошибка 
.
В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,4% (рис. 3).
Рис. 3. Графики показательной модели регрессии.
4. Построение гиперболической функции. Уравнение имеет вид: 
Произведем его линеаризацию путем замены X = 1/x. В результате получим линеаризованное уравнение вида 
Рассчитаем параметры этого уравнения (табл. 5).
.
Таблица 5. Расчетные значения гиперболической модели регрессии
Получим уравнение гиперболической модели вида: 
.
Определим индекс корреляции:
, т.е. связь между показателем у и фактором х можно считать умеренной.
Коэффициент детерминации 0,2414, т.е. вариация результата на 24,14% объясняется вариацией фактора х. Рассчитаем F-критерий Фишера: 
. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо, так как Fp < Fт (1,591 < 6,61).
Средняя относительная ошибка равна:
, т.е. в среднем расчетные значения гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,31%.
Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.
Параметры модели | Коэффициент детерминации R2 | F-критерий Фишера | Индекс корреляции | Средняя относительная ошибка |
Линейная | 0,2127 | 1.351 | -0.4612 | 4.44 |
Степенная | 0,2298 | 1.492 | 0,4794 | 4.35 |
Показательная | 0,2156 | 1.374 | 0,4343 | 4.4 |
Гиперболическая | 0,2414 | 1.591 | 0,4914 | 4.31 |
Рис. 4. График гиперболической модели регрессии.
Наибольшее значение F-критерия Фишера и коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Прогнозное значение капиталовложений составит: 
млн. руб., тогда прогнозное точечное значение выпуска продукции составит: 
млн. руб. Проведем расчет прогнозных интервальных оценок:
.
Таким образом, прогнозное значение 136,05 будет находиться между верхней границей, равной 136,05 + 23,4 = 159,45 и нижней границей, равной 136,05 -23,4 = 112,65.
Рис. 5. График прогноза гиперболической модели
Задача 2. В г. Туле проведен аудит 10 кредитных учреждений, по которым получены данные (табл. 1), характеризующие зависимость объема прибыли Y от среднегодовой ставки по кредитам X1, ставки по депозитам X2 и размера внутрибанковских расходов X3. Требуется:
1) осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели;
2) Провести расчет параметров модели и определить: - линейный коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации, средние коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты и дать их интерпретацию;
3) оценить надежность уравнения регрессии и статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии с помощью t-критерия Стьюдента;
4) построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя. Результаты расчетов отобразить на графике.
Таблица 1. Исходные данные задачи по 10 кредитным учреждениям
Y | X1 | X2 | X3 |
Решение.
1. Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Промежуточные вычисления сведем в табл. 2.
Таблица 2. Построение двухфакторной регрессионной модели
2. Рассчитаем коэффициенты парной корреляции:
;
;
; 
;
; 
; 
.
Составим таблицу корреляционного анализа:
Y | X1 | X2 | X3 | |
Y |
|
|
| |
X1 | 0,606154 |
|
| |
X2 | -0,43541 | -0,68368 |
| |
X3 | -0,66462 | -0,77787 | 0,717489 |
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная у имеет тесную связь с х1 и х3, но х1 и х3 также тесно связаны между собой, т.е имеем мультиколлинеарность. Поэтому выбираем тот, у которого связь с у по модулю больше – х3. Выбираем факторы х2 и х3.
Рассчитаем параметры модели 
.
, тогда 
.
Решим систему методом Крамера: 
, где
Тогда 
Получим модель: 
.
Найдем линейный коэффициент множественной регрессии (табл. 2):
Таблица 2. Промежуточные расчеты двухфакторной модели
.
Коэффициент детерминации: 
, т.е. около 44,5% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.
Коэффициенты эластичности: 
, т.е. зависимая переменная у при изменении фактора х2 на 1% увеличится на 4,04%.
, т.е. зависимая переменная у при изменении фактора х3 на 1% уменьшится на 32,1%.
Бета- коэффициенты:
, т.е. при увеличении ставки по депозитам на 16,1 у.е. объем прибыли увеличится на 0,085*11,12 = 0,95 у.е.
,
т.е. при увеличении банковского расхода на 12,3 у.е. объем прибыли увеличится на -0,726*11,12 = -8,07 у.е.
Дельта-коэффициенты:
- доля влияния ставки по депозитам в суммарном влиянии всех факторов.
- доля влияния внутрибанковского расхода в суммарном влиянии всех факторов.
3. Оценим надежность уравнения регрессии.
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера. Доверительная вероятность р = 0,95; 
.
Так как 
, то уравнение регрессии не статистически значимо.
Проверим независимость по d-критерию Дарбина-Уотсона (табл. 3).
Таблица 3. Проверка условия независимости модели
, так как 2,04 > 2, то имеет место отрицательная автокорреляция. Рассчитаем значение 
. В качестве критических табличных уровней при n = 10 и двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины 
. Так как имеем, что d’р > d2, то автокорреляция отсутствует.
Если вычислить первый коэффициент автокорреляции, то имеем: 
, следовательно, свойство независимости выполняется.
Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
;
;
Таким образом, табличное значение при 5%-м уровне значимости и степенях свободы 10 – 2 – 1 = 7 равно 2,36. Так как 9,1 > 2,36; 0,211 < 2,36; -1,797 < 2,36, то коэффициенты а2 и а3 незначимы, коэффициент а0 значим.
Построим точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя. Для фактора х2 построим линейную модель 
.
t | Х2 | t*t | t*X2 | X2 линейное |
93,89 | ||||
97,51 | ||||
101,13 | ||||
104,75 | ||||
108,37 | ||||
111,99 | ||||
115,61 | ||||
119,23 | ||||
122,85 | ||||
126,47 | ||||
1101,8 | ||||
5,5 | 110,2 | 38,5 | 110,18 |
Для фактора х3 построим линейную модель 
t | X3 | t*t | t*X3 | X3-линейное |
61,676 | ||||
65,482 | ||||
69,288 | ||||
73,094 | ||||
76,9 | ||||
80,706 | ||||
84,512 | ||||
88,318 | ||||
92,124 | ||||
95,93 | ||||
788,03 | ||||
5,5 | 78,8 | 38,5 | 464,8 |
|
Рис. 1. График для фактора х2.
Рис. 2. График для фактора х3.
Получаем, что 
;
.
Таблица прогнозов (р = 95%) имеет вид:
Упреждение | Прогноз | Нижняя граница | Верхняя граница |
148,27 | 133,87 | 162,67 | |
145,99 | 129,59 | 162,39 |
Графическое представление расчетов дано на рис. 5.
Рис. 3. График интервальных оценок двухфакторной модели
Задача 3. Собрана помесячная информация по Тульскому региону за 200Х год, включающая в условных единицах (у.е.) средний уровень заработной платы х1, средний размер оплаты за коммунальные услуги х2, средний размер расходов на бытовые услуги и нужды х2, средний остаток вклада на счете в банке у1.(табл. 1). Для исследования зависимости размера вклада на счете в банке у1 от общего уровня расходов и средней заработной платы х1, а также уровня расходов у2 от размера сбережений и расходов на коммунальные услуги х2 необходимо построить систему одновременных линейных уравнений, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Таблица 1. Исходные данные задачи
Средний размер вклада у1 | Уровень расходов у2 | Средняя зарплата, х1 | Коммунальные услуги х2 |
15,20 | 72,55 | 199,00 | 42,00 |
23,00 | 81,86 | 213,50 | 43,00 |
11,00 | 63,18 | 194,00 | 52,50 |
14,80 | 54,48 | 209,00 | 79,00 |
11,50 | 34,16 | 195,00 | 89,00 |
10,70 | 31,46 | 199,50 | 99,00 |
Приведенная форма модели: у1 = 0,44х1 - 0,08х2;
у2 = 0,72х1 - 0,74х2.
Найти структурную форму модели. Рассчитать смоделированные уровни вклада и расходов на бытовые нужды.
Решение. Согласно косвенному методу наименьших квадратов система линейных одновременных уравнений имеет вид: 
. Приведенная форма имеет вид: 
. Перейдем от приведенной к структурной форме модели. Из второго уравнения выразим 
и подставим его в первое уравнение системы. Получим первое уравнение структурной модели:
, 
или 
.
Из первого уравнения выразим 
и подставим его во второе уравнение системы. Получим второе уравнение структурной модели:
, 
или 
.
Таким образом, получили: 
.
Вычислим свободные члены:
;
.
Окончательно получили следующую систему:
.
Рассчитаем смоделированные уровни вклада и расходов на бытовые нужды.
| Средний размер вклада, | Уровень расходов,
| Средняя зарпла- та, | Коммуналь-ные услуги,
|
|
|
| 15,20 | 72,55 | 199,00 | 42,00 | 15,20 | 73,15 |
| 23,00 | 81,86 | 213,50 | 43,00 | 21,44 | 85,33 |
| 11,00 | 63,18 | 194,00 | 52,50 | 12,37 | 59,86 |
| 14,80 | 54,48 | 209,00 | 79,00 | 16,81 | 49,92 |
| 11,50 | 34,16 | 195,00 | 89,00 | 9,54 | 38,41 |
| 10,70 | 31,46 | 199,50 | 99,00 | 10,86 | 31,00 |
Итого | 86,20 | 337,69 | 1210,00 | 404,50 | 86,23 | 337,66 |
Средн. знач. | 14,37 | 56,28 | 201,67 | 67,42 |
Задача 4. Известны данные продажи квартир на вторичном рынке в Тульском регионе в тыс. у.е. (табл. 1). Требуется оценить возможную зависимость цены квартиры от ряда показателей: у - цена реализации квартиры на вторичном рынке жилья; х1 – цена новой квартиры; х2 – количество комнат, ед.; х3 – площадь квартиры, м2. Требуется построить двухфакторную регрессионную модель, отобрав наиболее значимые факторы, рассчитать коэффициент детерминации, коэффициенты эластичности, дать содержательную интерпретацию параметров и найденных коэффициентов модели.
Таблица 1. Исходные данные задачи
у | х1 | х2 | х3 |
27,20 | 29,72 | 70,40 | |
41,50 | 35,31 | 87,20 | |
55,60 | 39,66 | 102,70 | |
29,80 | 33,76 | 72,60 | |
31,20 | 35,64 | 74,70 | |
30,40 | 31,43 | 66,10 | |
32,60 | 31,07 | 69,50 | |
31,60 | 34,97 | 68,50 | |
32,50 | 33,12 | 70,60 | |
32,70 | 26,10 | 69,40 | |
29,50 | 30,69 | 66,40 | |
31,20 | 32,54 | 71,40 | |
32,20 | 33,29 | 72,40 |
Решение.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
