6. Эконометрические модели в маркетинге 2 страница

5. Для вычисления коэффициентов составим расчетную таблицу (табл. 12).

Таблица 12. Расчет промежуточных данных

t	Z			Y
		0,52	0,2704	15,9	-12,536	157,1513
		0,52	0,2704		-1,436	2,0621
		0,52	0,2704	13,5	-14,936	223,0841
		0,52	0,2704	15,1	-13,336	177,8489
		0,52	0,2704	21,1	-7,336	53,8169
		0,52	0,2704	28,7	0,264	0,069696
		0,52	0,2704	27,2	-1,236	1,527696
		0,52	0,2704	28,3	-0,136	0,018496
		0,52	0,2704	52,3	23,864	569,4905
		0,52	0,2704		-6,436	41,4221
		0,52	0,2704		-0,436	0,1901
		0,52	0,2704		16,564	274,3661
		-0,48	0,2304		22,564	509,1341
		-0,48	0,2304	34,4	5,964	35,5693
		-0,48	0,2304	24,7	-3,736	13,9577
		-0,48	0,2304	30,8	2,364	5,5885
		-0,48	0,2304	15,9	-12,536	157,1513
		-0,48	0,2304		0,564	0,3181
		-0,48	0,2304	15,4	-13,036	169,9373
		-0,48	0,2304	28,6	0,164	0,0269
		-0,48	0,2304	15,6	-12,836	164,7629
		-0,48	0,2304	27,7	0,736	0,5417
		-0,48	0,2304	34,1	5,664	32,0809
		-0,48	0,2304	37,7	9,264	85,8217
		-0,48	0,2304	41,9	13,464	181,2793
Итого			6,24	710,9		2857,217688
Сред. значен	0,48			28,436

Вычислим среднее значение коэффициента эластичности по формуле:

, где а_j = -1,71762; = 0,48; = 28,436;

Э_j = -1,71762*0,48/28,436 = -0,02899.

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении местоположения квартир (Z) на 1% цена квартиры (Y) снизится на 0,02899% от своего среднего уровня.

Оценку влияния местоположения квартир на их цену проведем с помощью бета-коэффициента, рассчитываемого по формуле:

; .

Получаем = 0,26; = 0,5099; = 119,0507; = 10,911.

-коэффициент показывает, на какую часть среднеквадратического отклонения изменяется среднее значение зависимой переменной Y с изменением независимой переменной X_i на среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значений остальных независимых переменных X_j, i j.

Тогда имеем, что . Это значит, что при росте цен на квартиры в северной части города на 0,5099 тыс.долл. при фиксированном на постоянном уровне значении остальных факторов цена квартир в южной части уменьшится на 0,7485 тыс. долл. (-0,0686*10,911).

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии приведены в четвертом столбце табл. 10. Табличное значение t-критерия при уровне значимости 5% и степени свободы (25 – 8 – 1 = 16) составляет 2,12. Так как , , то коэффициенты регрессии , статистически значимы. Другие значения меньше табличного, поэтому коэффициенты статистически незначимы.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем, вычислив F-критерий Фишера (табл. 9): .

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при степенях свободы (25 – 8 – 1 = 16) составляет 2,59. Так как , то уравнение регрессии следует признать адекватным.

Значение коэффициента детерминации равно: Тогда имеем: .

Так как коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под воздействием изучаемых факторов X_i, то имеем, что свыше 99% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием факторов X_i. В целом эконометрический расчет можно считать законченным.

Пример 2. В 200Х году Счетная Палата осуществила проверку семи крупных промышленных предприятий Тульской области на предмет того, какую часть доходов они расходуют на инновационное развитие своего производства. Результаты обследования сведены в табл. 1. Требуется исследовать зависимость величины отчислений на развитие производства от степени дохода предприятия с использованием эконометрических моделей.

Таблица 1. Исходные данные по деятельности предприятий, млн. руб.

Расходы на развитие производства - Y	Доход Х
3,5
1,5
4,5

Решение. Проведем регрессионный анализ, выполнив: 1) построение уравнения регрессии; 2) оценку качества уравнения регрессии; 3) проверку значимости коэффициентов уравнения регрессии; 4) отображение на графике фактических данных и модели.

1. Построение уравнения регрессии. Для вычисления параметров модели вручную воспользуемся методом МНК по формулам (таб. 2):

; ;

= ;

= ;

Таблица 2. Промежуточные расчетные данные задачи

Наблюдение	Расходы на развитие производства, Y	Доход, Х					yx
	3,0		-0,643	-0,714	0,510	0,459
	6,0		2,357	14,286	204,082	33,673
	5,0		1,357	4,286	18,367	5,816
	3,5		-0,143	-10,714	114,796	1,531
	1,5		-2,143	-10,714	114,796	22,959
	4,5		0,857	9,286	86,224	7,959
	2,0		-1,643	-5,714	32,653	9,388
Сумма	25,5	285,00	0,000	0,000	571,429	81,786
Сред-нее	3,643	40,714						1739,286

Отсюда линейная модель регрессии Y = f(X) (зависимость расходов на развитие производства от степени дохода предприятий) имеет вид:

.

Из модели видно, что рост доходов предприятий на 1 млн. руб. обусловливает рост отчислений на развитие производства на 143 тыс. руб.

2. Оценка качества уравнения и проверка значимости коэффициентов регрессии. Для определения оценки качества уравнения регрессии и проверки значимости модели используем F-критерий Фишера с проведением дополнительных вычислений (табл. 3).

Таблица 3. Промежуточные вычисления задачи

Наблюдение	Х
		3,536	-0,107	0,0114	-0,643	0,4134
		5,681	2,038	4,1534	2,357	5,5554
		4,251	0,608	0,3696	1,357	1,8414
		2,106	-1,537	2,3623	-0,143	0,0204
		2,106	-1,537	2,3623	-2,143	4,5924
		4,966	1,323	1,7503	0,857	0,7314
		2,821	-0,822	0,6756	-1,643	2,6994
Сумма	285,00			11,6849	0,000	15,8538
Среднее	40,714

Коэффициент детерминации равен:

.

Вариация результата Y (расходы на развитие производства) на 73,7 % объясняются вариацией фактора Х (доходом предприятия).

3. Проверка значимости модели регрессии. Используя F-критерий Фишера, имеем: .

F > F_табл. = 6,61 для a = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 5. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как F > F_табл..

Решение задачи с помощью ППП Excel. Применение ППП позволяет быстро и точно произвести все расчеты.

1. Построение уравнения регрессии. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры уравнения линейной регрессии у = а + bх. Для вычисления необходимо:

1. Ввести исходные данные или открыть уже существующий файл, содержащий анализируемые данные.

2. Выделить область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.

3. Активизировать Мастер функций.

4. В окне Категория выбрать Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН.

5. Заполнить аргументы функции (рис. 1):

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится.

6. В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы, необходимо нажать клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>, <SHIFT>, <ENTER>. Дополнительная регрессионная статистика выводится в табл. 4.

Таблица 4. Значения дополнительной регрессионной статистики

Значение коэффициента b	Значение коэффициента а
Среднеквадратическое отклонение b	Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации R^2	Среднеквадратическое отклонение у
F-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Рис. 1. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Результаты вычисления функции ЛИНЕЙН представлены на рис. 2.

Рис. 2. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

По результатам вычисления уравнение регрессии принимает вид:

у = 0,1431х – 2,1844.

Построить уравнение регрессии можно и с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel).

Для проведения регрессионного анализа необходимо:

1. Выбрать команду Сервис – Анализ данных.

2. В диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Регрессия.

3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х ввести адрес диапазона ячеек, который содержит значения независимых переменных (рис. 3).

4. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

5. Выбрать параметры вывода.

Результат регрессионного анализа приведен в таблицах (рис. 4).

Рис. 3. Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению

анализа данных

Рис. 4. Результаты регрессионного анализа

В ячейках В18 и В17 содержатся коэффициенты уравнения регрессии:

а = 0,143125; b = –2,184375. Тогда уравнение регрессии имеет вид:

у = 0,1431х – 2,1844.

2. Оценка качества модели.

I способ- с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН, определяющей параметры линейного уравнения регрессии у = а + bх (рис. 2): R² = 0,73818975 (ячейка D4).

II способ - определение значения коэффициента детерминации по таблице Регрессионная статистика (рис. 4): R² = 0,73818975 (ячейка В5). Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов, т.е. 73,82 % вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

3. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Значимость коэффициентов регрессии оценим на основе вычисления F-критерия Фишера, значение которого найдем в таблице протокола Excel (рис. 4). F = 14,0978. Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,95 при v₁ = k = 1 и v₂ = n – k – 1 = 7 – 1 – 1 = 5 составляет 6,61. Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР (рис. 5). Так как F_расч > F_табл, то уравнение регрессии следует признать адекватным.

4. Отображение на графике фактических данных и модели. Графики строятся с помощью Мастера диаграмм, для чего необходимо:

а) ввести исходные данные или открыть уже существующий файл, содержащий анализируемые данные;

б) активизировать Мастер диаграмм;

в) в окне Тип выбрать Точеная; вид графика выбрать в поле рядом со списком типов. Щелкнуть по кнопке Далее (рис. 6);

г) заполнить диапазон данных. Установить флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкнуть по кнопке Далее;

д) заполнить параметры диаграммы на разных закладках: название диаграммы и осей, значения осей, линии сетки, параметры легенды, таблица и подписи данных. Щелкнуть по кнопке Далее;

е) указать место размещения диаграммы на отдельном или на имеющемся листе. Щелкнуть по кнопке Далее ( диаграмма динамики уровней ряда представлена на рис. 7).

Рис. 5. Определение табличного значения F-критерия

В ППП Excel линия тренда может быть добавлена в график. Для этого необходимо:

1. Выделить область построения диаграммы; в главном меню выбрать Диаграмма/Добавить линию тренда.

2. В появившемся диалоговом окне (рис. 8) выбрать вид линии тренда и задать соответствующие параметры.

На диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 9).

На графике (рис. 10) отображены фактические данные и модель.

Рис. 6. Диалоговое окно Мастера диаграмм: тип диаграммы

Рис. 7. Динамика отчислений на развитие производства

Рис. 8. Диалоговое окно типов линий тренда

Рис. 9. Диалоговое окно параметров линии тренда

Рис. 10. Линейный тренд

Пример 3. По ряду промышленных предприятий г. Тулы получена зависимость объема выпуска продукции Y от объема прямых инвестиций X (табл. 1). Требуется провести эконометрический анализ ситуации на рынке:

1) построить следующие модели: линейную, степенную, показательную, гиперболическую и выбрать из них наилучшую;

2) оценить каждую модель с нахождением параметров: индекса корреляции, коэффициента детерминации, средней относительной ошибки, F- критерия Фишера и дать их содержательную интерпретацию;

3) рассчитать прогнозные значения результативного признака Y, если прогнозное значение фактора Х увеличится на 110% относительно среднего уровня; результаты расчетов отобразить на графике.

Таблица 1. Исходные данные задачи, млн. руб.

Y
X

Решение. Построим линейную модель парной регрессии, для чего определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле:

.

Отсюда следует, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y обратная, умеренная.

Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:

Значения параметров a и b линейной модели определим по методу МНК, используя исходные данные табл. 1. В результате имеем:

Таблица 2. Расчетные данные линейной модели

; .

Тогда уравнение линейной регрессии имеет вид: , т.е. получаем, что с ростом объема капиталовложений на 1 млн.руб. объем выпускаемой продукции уменьшается в среднем на 340 тыс. руб.

Рассчитаем коэффициент детерминации: , т.е. вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 21,27 % объясняется вариацией фактора X (объем капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера: .

F_р < F_табл = 6,61 для = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 5. т.е. уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо.

Определим среднюю относительную ошибку:

.

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,44% (рис. 1).

Рис. 1. График линейной модели регрессии

2. Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: Обозначим Тогда уравнение имеет вид: , т.е. получаем линеаризованное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры (табл. 3).

Дата добавления: 2015-11-04