Международная образовательная корпорация

Международная образовательная корпорация Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал
Математика 1 Кредит 3 Лекция № 3. Вектора. Произведение векторов.		ФОЕНП 1-й семестр 2015-2016 уч.г. Ассоц.проф. Буганова С.Н.

Краткое содержание лекции

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a_i, т.е. .

Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) × = ï ï²;

2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) × = × ;

4) ×( + ) = × + × ;

5) (m )× = ×(m ) = m( × );

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то ´ =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и . Обозначается или (, , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Задание на СРС:

1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]

Задание на СРСП:

1. ИДЗ-2.1 [1 – стр. 67], ИДЗ-2.2 [1 – стр. 75].

Контрольные вопросы

А. Для письменного контроля

1.Векторы. 2.Сложение векторов. 3. Проекция вектора на ось. 4.Координаты вектора. 5.Базис. Разложение вектора по базису.

Б. Для компьютерного тестирования

1) Даны три вершины А(3, -4, 7), В(-5, 3, -2) и С(1, 2, -3) параллелограмма АВСД. Найти его четвертую вершину Д, противоположную В.

2) На оси абсцисс найти точку М, расстояние которой от точки А(3,-3) равно 5.

3) Заданы векторы а=2i+3j, в=-3j-2k и с=i+j-k. Найти разложение вектора а+в-2с по базису β=(i, j, k).

4) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2, 8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найти две другие вершины.

5) Определить координаты концов отрезка, который точками С(2, 0, 2) и Д(5, -2, 0) разделён на три части.

6) Заданы вектора а=2i+3j, в=-3j-2k, c=i+j-k. Найти координаты вектора .

Глоссарий

№	Қазақша	Русский	English
1.	Вектор	Вектор	Vector
2.	Скаляр	Скаляр	Quantify
3.	Зависимость	Байланыс	Dependence
4.	Базис	Базис	Basis
5.	Аралас көбейту	Смешанное произведение	Mixed Product
6.	Скалярлық көбейту	Скалярное произведение	Scalar product
7.	Қасиеті	Свойство	Property
8.	Аудан	Площадь	The area
9.	Табан ауданы	Площадь основания	The area of the basic

Литература:

Основная

1. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, - Мн.: Выш. Школа, 2011.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.

Дополнительная

3. Сыдыкова Д.К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: КазГАСА, 2008.

4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.

5. www.studentlibrary.ru

6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.

Дата добавления: 2015-10-21