Международная образовательная корпорация

Международная образовательная корпорация Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал
Математика 1 Кредит 3 Лекция № 9. Производные функции.		ФОЕНП 1-й семестр 2015-2016 уч.г. Ассоц.проф. Буганова С.Н.

Краткое содержание лекции

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Необходимое условие существования производной. Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Производная сложной функции.

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции. Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Производная обратных функций. Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g¢(y) ¹ 0, то , . Т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Задание на СРС:

1. Основные правила дифференцирования. Таблица дифференциалов.(конспект, по графику).

2. Производные обратной тригонометрической функции. [1,4-с.190-194]

Задание на СРСП:

1. ИДЗ-6.1 [1, стр. 205]

Контрольные вопросы:

А. Для письменного контроля

1. Определение производной функции. 2. Механический смысл производной.

3. Геометрический смысл производной. 4. Основные правила дифференцирования;

Б. Для компьютерного тестирования

Найти производные функции.

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5) ; 6) ; 7) ; 8)

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

Глоссарий

№	Қазақша	Русский	English
1.	Туынды	Производная	Derivative
2.	Үзіліссіз	Непрерывно	Unremitting
3.	Қосынды	Сумма	Sum
4.	Көбейтінді	Произведения	Multiplication, product
5.	Күрделі	Сложная	Complicated

Литература:

Основная

1. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, - Мн.: Выш. Школа, 2011.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.

Дополнительная

3. Сыдыкова Д.К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: КазГАСА, 2008.

4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.

5. www.studentlibrary.ru

6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.

Дата добавления: 2015-10-21