Международная образовательная корпорация

Международная образовательная корпорация Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал
Математика 1 Кредит 3 Лекция № 15. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, в параметрической форме. Вычисление объемов тел и тела вращения. Длина дуги. Вычисление площадей поверхностей тел вращения. Приложение определенного интеграла к решению задач механики и физики.		ФОЕНП 1-й семестр 2015-2016 уч.г. Ассоц.проф. Буганова С.Н.

Краткое содержание лекции

Вычисление площадей плоских фигур.

у

+ +

0 a - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Нахождение площади криволинейного сектора.

r = f(j)

b

a

О r

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

a b x

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

, где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то , r = f(j).

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(x_i-1)

объем тела может быть найден по формуле:

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Задание на СРС

1. Площадь поверхности тела вращения. (конспект) [1, 2].

Задание на СРСП

1. ИДЗ- 9.2 [1. стр.188].

Глоссарий

№	Қазақша	Русский	English
1.	Аудан	Площадь	Area
2.	Айландыр- денесі	Тело вращения	Rotation body
3.	Объем	Объем	Volume
4.	Доғаның ұзындығы	Длина дуги	Arch length
		Криволинейный сектор	Curvilinear sector

Литература:

Основная

1. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т.2.- Мн.: Выш. Школа, 2011.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.

Дополнительная

3. Сыдыкова Д.К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: КазГАСА, 2008.

4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.

5. www.studentlibrary.ru

6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.

Дата добавления: 2015-10-21