|
Международная образовательная корпорация Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал | ||
Математика 1 Кредит 3 Лекция № 14. Определенный интеграл. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. | ФОЕНП 1-й семестр 2015-2016 уч.г. Ассоц.проф. Буганова С.Н. |
Краткое содержание лекции
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
0 a xi b x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.
Составим суммы: n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =
n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.
Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.
x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =
Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi
Следовательно,
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
Если , то
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение: а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
1)
2)
3)
4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
Вычисление определенного интеграла.
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).
Тогда если
1) j(a) = а, j(b) = b
2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]
3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то
, Тогда
Интегрирование по частям.
Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Задание на СРС
1. Несобственные интегралы. (конспект) [1,2].
Задание на СРСП
1. ИДЗ-9.1 [1. стр.164].
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение определенного интеграла. 2. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Формула замены переменной в определенном интеграле
4. Определенный интеграл в полярной системе координат
5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Глоссарий
№ | Қазақша | Русский | English |
1. | Алғашқы функция | Первообразная функция | Antiderivative |
2. | Интегралдау | Интегрирование | Integration |
3. | Айнымалы ауыстыру | Замена переменной | Transformation of variable |
4. | Бөлшектеп интегралдау | Интегрирование по частям | Integration by parts |
5. | Интеграл астындағы функция | Подынтегральная функция | Integrand |
Литература:
Основная
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
3. Сыдыкова Д.К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: КазГАСА, 2008.
4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.
5. www.studentlibrary.ru
6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 21 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Международная образовательная корпорация | | | Международная образовательная корпорация |