|
Международная образовательная корпорация Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал | ||
Математика 1 Кредит 3 Лекция № 10. Производные высших порядков. | ФОЕНП 1-й семестр 2015-2016 уч.г. Ассоц.проф. Буганова С.Н. |
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x):
т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
.
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);
3)
.
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
.
Пример 1: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex; .
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример 2.: Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда . Следовательно .
Задание на СРС:
1. Формула Тейлора и Маклорена [1,2].
2. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля (корни производной), Лагранжа (конечные приращения), Коши (отношения приращения)).[1,2-с.163].
3.
Задание на СРСП:
1. ИДЗ -6.2 [1 –стр. 221].
Глоссарий
№ | Қазақша | Русский | English |
1. | Туынды | Производная | Derivative |
2. | Дифференциал | Дифференциал | Differential operator |
3. | Туындыны табудың тіке әдісі | Непосредственный метод отыскания производной | Delta method |
4. | Солжақты туынды | Производная слева | Derivative on the left |
5. | Оңжақты туынды | Производная справа | Derivative on the right |
Литература:
Основная
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
3. Сыдыкова Д.К. Математика I. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. -Алматы: КазГАСА, 2008.
4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.
5. www.studentlibrary.ru
6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 25 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Жил сапожник с женой и детьми у мужика на квартире. Ни дома своего, ни земли у него не было, и кормился он с семьею сапожной работой. Хлеб был дорогой, а работа дешевая, и что заработает, то и | | | Международная образовательная корпорация |