ЖҮТ №1 Анықтауыштар. Матрицалар. Сызықты теңдеулер жүйелері. 6 страница

түзуінің бағыттаушы векторы: 4) пунктте, ал жағының теңдеуі 2) пунктте анықталған: жағының нормаль векторы:

ендеше .

3.3 түзуінің канондық теңдеуін жазу:

Шешуі: түзуі екі жазықтықтың, айталық, және жазықтықтарының қиылысу сызығы ретінде жалпы теңдеуімен берілген. Ендеше және жазықтықтарының нормаль векторлары сәйкес және .

түзуі бағыттаушы векторы

түзуінің берілген теңдеуінен оған тиісті бір нүктенің координаталарын анықтау үшін деп ұйғарып,

Сөйтіп, координаталары (-3;0;0) нүктесі түзуіне тиісті.

түзуінің канондық теңдеуі: немесе .

3.4 түзуі мен жазықтығының қиылысу нүктесін табу.

Шешуі. Түзудің канондық теңдеуінен параметрлік теңдеуіне көшіп, және түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу үшін келесі теңдеулер жүйесін шешуіміз керек:

А(10, 4, -3) – берілген түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі.

3.5 1) түзуіне қарағанда нүктесіне симметриялы нүктесін табу.

Шешуі. түзуіне перпендикуляр нүктесі арқылы өтетін жазықтық теңдеуін оның нормаль векторы ретінде түзуінің бағыттаушы векторын аламыз:

түзуі мен П жазықтығының қиылысу нүктесін анықтаймыз:

нүктесі - кесіндісінің ортасы болғандықтан,

Жауабы: нүктесі - нүктесіне симметриялы.

2) П: жазықтығына қарағанда нүктесіне симметриялы нүктесін табу.

Шешуі. П: жазықтығына перпендикуляр нүктесі арқылы өтетін түзуінің теңдеуін құрастырамыз: түзуінің бағыттаушы векторы ретінде П жазықтығының нормаль векторын алсақ және үшін канондық теңдеуін береміз. түзуінің бағыттаушы векторын оған коллинеар векторымен ауыстырып, теңдеуін аламыз: . түзуі мен П жазықтығының қиылысу нүктесін анықтаймыз:

нүктесі - кесіндісінің ортасы болғандықтан,

Жауабы: нүктесі - П: жазықтығына қарағанда нүктесіне симметриялы.

4.1 теңдеуімен берілген гиперболаның және сәйкес нақты және жорамал жарты өстерін, фокустарының координаталарын анықтап, эксцентриситетін және директриса мен асимптота теңдеулерін құру.

Шешуі. Гиперболаның теңдеуін канондық түрге келтірейік,

немесе . Онда нақты және жорамал жарты өстері: , , , фокустарының координаталары: , эксцентриситетін табамыз. Директриса теңдеулері: , асимптота теңдеулері: .

4.2 2-ретті қисықтың түрін ажыратып, теңдеуін табу.

Шешуі.

Сипаттамалық теңдеуін шешіп:

матрицасының меншікті мәндері: және . Табылған меншікті мәндерге сәйкес , меншікті векторларды анықтау үшін әрбір меншікті мән үшін сәйкес

және

Теңдеулер жүйелері әрі сызықты, әрі біртекті және белгісіздер саны 2, ал рангілері 1 тең болғандықтан, шексіз көп шешімі бар. Меншікті векторлар ретінде солардың біреуін таңдап алсақ жеткілікті:

Алынған меншікті векторлардың бірлік меншікті векторларын, екінші сөзбен нормалдаушы векторларын анықтаймыз:

және .

Екі бірлік вектордың скалярлық көбейтіндісі 0-ге тең екендігіне көз жеткіземіз: , ендеше - векторлар өзара ортогональ. Меншікті нормальдаушы ортогональ векторларды қолданып, координаталарды түрлендіру матрицасын құрамыз:

х және у үшін анықталған өрнектерді қисықтың теңдеуіне қойып,

Ұқсас мүшелерін жинақтап, теңдеуін аламыз. Теңдеудегі айнымалылардың толық квадратын бөлетін болсақ,

немесе

немесе қорытынды теңдеуін аламыз. Координата өстерінің параллель көшіруін қолдану үшін ұйғарып, теңдеуін немесе - эллипстің канондық теңдеуін аламыз.

4.5 теңдеуімен берілген гиперболаны өсінен айналдырғанда пайда болған айналу бетінің теңдеуін анықтау:

Шешуі: берілген гиперболаның канондық теңдеуін алайық: .

өсінен айналдырғанда пайда болған айналу бетінің теңдеуі:

екі қуысты айналу гиперболоидын анықтайды.

5.1 к омплекстік санына амалдар қолдануды орындап, нәтижені алгебралық түрде көрсету:

Шешуі: ,

яғни, , .

5.2 Комплекстік сандар жазықтығында теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиынын кескіндеу.

Шешуі: Комплекстік санның модулінің анықтамасын қолданамыз,

Есептің берілгені бойынша,

Теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз:

немесе .

Онда

Теңсіздікті қанағаттандыратын нүктелер жиынын екі тенсіздіктер жүйесімен анықталады:

және

Олардың шешімдері суретте кескінделген.

5.3 комплекс санының тригонометриялық формасын табу

Шешуі: комплекс санының нақты және жорамал бөліктері: . Онда модулі мен аргументін анықтайық: ,

Ендеше, берілген комплекс санның тригонометриялық формасы: .

5.4 - мәнін есептеңіз.

Шешуі: Бөлшектің алымындағы санын тригонометриялық формаға келтірейік,

Муавр формуласын қолданып, 60 дәрежеге шығарамыз:

Енді бөлшектің бөлімін ықшамдайық:

Ендеше, .

5.5 теңдеуінің түбірлерін тауып, комплекстік жазықтықта көрсетіңіздер:

Шешуі. берілген теңдеудің түбірлері. комплекс санының модулі және . Онда комплекс саннан түбір алу формуласынан

үшін

аламыз. мәндерінде

6.1 квадраттық форманың матрицалық жазылуын көрсету. а) Лагранж әдісін қолданып, квадраттық форманы канондық түрге келтіру. б) Бас минорларының таңбасы арқылы анықталғандыққа зерттеу.

Шешуі. квадраттық формасының матрицасы тең.

Ал белгісіздер матрицасы және оның транспозицияланған матрицасын анықтаймыз: , .

а)

б) квадраттық формасын анықталғандыққа зерттеу.

Теоремаға сүйеніп, жо5арыда құрастырылған матрицасынан .квадраттық формасының барлық бас минорларының таңбасын анықтаймыз: Барлық бас минорлары:

Ендеше квадраттық форма оң анықталмаған.

6.2 квадраттық формасын канондық түрге келтіру.

Шешуі.

квадраттық формасын канондық түрге келтіру үшін сызықты түрлендірулері жасалды. Ал квадраттық формасын бірден канондық түрге келтіру үшін сызықты түрлендіруін жасау қажет.

6.3 2-ретті қисықтың теңдеуін канондық түрге келтіріп, түрін ажыратыңыздар.

Шешуі. 2-ретті қисықтың теңдеуінен екінші ретті дәржелері бар мүшелерін алып, квадраттық форманы канондық түрге келтірейік:

Эллипстік түрге жатады.

7.1 Анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып, көпмүшелігін көпмүшелігіне бөлгендегі бөлінді көрмүшелігі мен калдық көпмүшелігін табу. Алынған нәтижені көпмүшелігін көпмүшелігіне бұрыштап бөлу арқылы тексеру қажет.