ЖҮТ №1 Анықтауыштар. Матрицалар. Сызықты теңдеулер жүйелері. 5 страница

9 ЕСЕПТЕРДІҢ ШЫҒАРЫЛУ ЖОЛДАРЫ

1.1 анықтауышын есептеу:

а) бірінші жолдың элементтері бойынша жіктеу арқылы; б) екінші бағанның элементтері бойынша жіктеу арқылы; в) бірінші жолда нөлдер алу арқылы.

Шешуі.

а) Бірінші жолдың элементтері бойынша жіктеу арқылы анықтауышты есептейік:

б) Екінші бағанның элементтері бойынша жіктеу арқылы анықтауышты есептейік:

в) Бірінші жолда нөлдер алу арқылы анықтауышты есептейік. Ол үшін анықтауыштың қасиеттерін қолданамыз. Анықтауыштың үшінші бағанын 3-ке көбейтіп, бірінші бағанның сәйкес элементтеріне қосамыз, одан кейін (-2)-ге көбейтіп екінші бағанның сәйкес элементтеріне қосамыз. Онда бірінші жолдың бір элементінен басқасының барлығы нөлге тең. Сонымен, бірінші жол бойынша жіктесек:

Жауабы: 38.

1.2 өрнегінің мәнін есептеу.

Шешуі: Көрсетілген арифметикалық амалдарды орындалу ретіне сәйкес:

Жауабы:

1.3 матрицалық теңдеуін шешу.

Шешуі. Берілген матрицалық теңдеу (8) түрінде болғандықтан,яғни, , мұндағы

және .

Матрицалық теңдеудің шешімін (11) формуласы бойынша табу үшін А және В матрицаларының кері матрицаларын анықтасақ жеткілікті:

А және В матрицаларының анықтауыштары 0-ден өзгеше болғандықтан, олар айрықша емес, ендеше кері матрицалары бар болады:

Онда берілген матрицалық теңдеудің шешімі:

Жауабы: .

1.4 жүйесін Крамер әдісімен шешу.

Шешуі. Крамер әдісі бойынша 3-ретті төрт анықтауышты есептеуіміз керек. Жүйені үйлесімділікке тексереміз: .

Крамер формуласын қолданып, аламыз.

Жауабы: .

1.5 жүйесін шешіңіз.

Шешуі. Жүйенің белгісіздерінің алдындағы коэффициенттерден құрастырылған анықтауышты есептейміз:

Онда Крамер әдісі бойынша жүйенің тек жалғыз нөлдік шешімі(тривиалды) бар.

Жауабы: .

1.6 Гаусс әдісін қолданып жүйені үйлесімділікке зертте және үйлесімді болған жағдайда теңдеулер жүйесін шешу.

Шешуі. Кеңейтілген матрицаны құрып, жолдарға қажетті элементар түрлендірулер жүргіземіз:

Соңғы матрицаға сәйкес бастапқы берілген матрицаға эквивалентті теңдеулер жүйесін аламыз:

Төменнен жоғары қарай біртіндеп жылжи отырып, мынадай шешімдерге ие боламыз:

Сонымен, жүйе үйлесімді және оның тек бір ғана шешімі бар : . Табылған белгісіздерді берілген теңдеулер жүйесіне қойып, тексеру арқылы шешімнің дұрыстығына көз жекіземіз.

2.1 Берілгені: , , , , векторлары

1. және векторлары ортогональ;

2. және векторлары коллинеар болатындай берілген векторлардың белгісіз координаталарын табу керек.

Шешуі: 1. және

Векторлардың перпендикулярлық шартын қолдансақ, онда

болғанда және векторлары ортогональ болады.

2. және векторларына коллинеарлық шартын қолдансақ,

, болғанда және векторлары коллинеар болады.

2.2 Берілгені: . Табу керек:

1. және векторларының арасындағы бұрыштың косинусын;

2. векторының векторына түсірілген проекциясын;

3. және векторларынан тұрғызылған параллелограмм ауданын.

Шешуі. 1.

Жауабы: 1) , 2) , .

2.3 нүктесіне түсірілген , және күштері берілсін. Табу керек:

1. Түсіру нүктесін түзу бойымен нүктесінен нүктесіне жылжыту үшін берілген күштердің ортақ әсер етуші күшінің жасайтын жұмысын

2. нүктесіне қатысты осы күштердің ортақ әсер етуші күшінің моментінің шамасын және бағытын.

Шешуі. 1. векторы мен , және берілген күштердің ортақ әсер етуші күшін анықтаймыз:

Онда түсіру нүктесін түзу бойымен нүктесінен нүктесіне жылжыту үшін берілген күштердің ортақ әсер етуші күшінің жасайтын жұмысы: (жұмыс бірлігі).

2. , және күштерінің ортақ әсер етуші күшін табайық:

нүктесіне қатысты күш моментін және оның шамасын табайық:

;

күш моментінің бағыты бағыттаушы косинустарымен анықталады:

; ; .

Жауабы: 1. 6 жұмыс бірлігі, 2. 15 күш бірлігі; ; ; .

2.4 векторларынан тұрғызылған пирамида көлемін табу.

Шешуі. векторларының аралас көбейтіндісін табамыз:

ендеше, .

Жауабы: .

2.5 матрицасымен берілген оператордың меншікті мәнін және меншікті векторын табу.

Шешуі. Мінездемелік теңдеуін құрайық:

Табылған меншікті сандарға сәйкес меншікті векторларды табамыз. Меншікті векторлардың координаталарын анықтау үшін үш сызықтық теңдеулер жүйесін құрамыз.

1) ,

сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің бір дербес шешімін меншікті мәніне сәйкес меншікті векторы алуға болады.

Жауабы: меншікті мәндер 2, -1 және 5; меншікті векторлар , ,

3.1 нүктелері берілген. Табу керек:

1) АВ қабырғасының ұзындығын;

2) АЕ медианасының теңдеуін;

3) АН биіктігінің теңдеуін;

4) А нүктесі арқылы өтетін ВС түзуіне параллель түзудің теңдеуін;

5) А нүктесінен ВС түзуіне дейінгі қашықтықты;

6) АВЕ және АСЕ үшбұрыштарының аудандарын.

Шешуі. 1) АВ қабырғасының ұзындығы: .

2) АЕ медианасының теңдеуі

АЕ медиана болғандықтан, Е нүктесі - ВС кесіндісінің ортасы:

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табу үшін (46) формуланы қолданамыз,

немесе .

ықшамдап, ізделінді АЕ медианасының теңдеуін аламыз: .

3) АН биіктігі ВС түзуіне перпендикуляр болады.:

В және С нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі:

немесе .

Түзулердің перпендикулярлық шартын сипаттайтын 1.3 салдарды қолдану үшін, берілген түзудің бұрыштық коэффициентін анықтаймыз , ендеше АН биіктігінің теңдеуі: .

4) А нүктесі арқылы өтетін ВС түзуіне параллель түзудің теңдеуі:

5) нүктесінен түзуге дейінгі қашықтықты есептеу формуласын (52) қолданып, А нүктесінен ВС түзуіне дейінгі қашықтық:

6) АЕ – АВС үшбұрышының медианасы болғандықтан, оның қасиеті бойынша, ., ендеше,(54) формуласы бойынша АВЕ және АСЕ үшбұрыштарының аудандары:

3.2 – параллелепипедінің төбелері. Табу керек:

1. түзуінің теңдеуін;

2. жағының теңдеуін;

3. төбесінен АВС жағына түсірілген биіктіктің теңдеуін және ұзындығын;

4. мен қырларының арасындағы бұрышты;

5. және жақтарының арасындағы бұрышты;

6. табанының ауданын;

7. Параллелепипед көлемін;

8. қырымен жазықтығының арасындағы бұрышты.

Шешуі. 1) түзуінің теңдеуі: ;

2) жағының теңдеуі:

;

3) төбесінен АВС жағына түсірілген биіктіктің теңдеуі және ұзындығы:

жағының теңдеуінің нормаль векторы: . Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін қолдансақ, онда төбесінен АВС жағына түсірілген биіктіктің теңдеуі: ;