I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях. 2 страница

. (1.24)

Если инфляция за период T изменяется, то инфляция равна

, (1.25)

где - темп инфляции за соответствующий временной период, – индекс инфляции, соответствующий i – му моменту времени. Если в течении n периодов инфляция постоянна, то темп инфляции связан с индексом I соотношением .

Вывод формулы Фишера.

Пусть - стоимость товара в начале периода, - стоимость товара, например, через год. Темп инфляции равен

. (1.26)

Очевидно, что из-за инфляции на ту же сумму денег можно купить меньше. Реальная стоимость денег при инфляции уменьшается. Для того, чтобы купить такое же количество товара нужна сумма . Если текущая процентная ставка равна r, то через год вы получите сумму равную . Чтобы деньги сохранили свою покупательную способность необходимо, чтобы наращенная сумма , или

. (1.27)

Если, кроме избегания инфляции, надо получить доход, то . Пусть эта сумма равна . Реальной процентнойставкой называется величина

. (1.28)

Из (1.28) после подстановки в (1.27) вместо получим

.

Если , то процентная ставка равна

. (1.29)

Такая процентная ставка обеспечивает реальную эффективность финансовой операции.

Реальная процентная ставка из (1.29) равна

. (1.30)

Если темп инфляции превышает номинальную ставку , то реальная процентная ставка становится отрицательной. Это означает, что наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег из-за инфляции.

Полученная зависимость процентной ставки от темпа инфляции, может быть проверена статистическими методами, например, с помощью построения регрессионной модели. Такая проверка была проведена[5]. Предсказанная линейная зависимость подтвердилась для долгосрочных процентных ставок на срок более пяти лет. Для краткосрочных процентных ставок такая линейная зависимость не подтверждается.

Пример 10. Кредит 12,0 млн. руб. был выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процента при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность этой финансовой операции для кредитора должна составлять 12% годовых.

Решение. Годовой рост цен равен . Темп инфляции за год равен , . Реальная процентная ставка 0,12. Процентная ставка по формуле (1.29) равна . Наращенная сумма долга равна млн. руб.

1.5. Дисконтирование и наращение по процентной и учетной ставкам.

Часто при выдаче кредита необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме . В зависимости от вида процентной ставки используют два типа дисконтирования. Дисконтирование по процентной ставке r называется математическое дисконтированием, а дисконтирование по учетной ставке d называется банковским дисконтированием. Для того, чтобы различать далее формулы для банковского и математического дисконтирования или наращения, далее будем использовать следующие обозначения:

- начальная и наращенная сумма по процентной ставке ;

-начальная и наращенная сумма по учетной ставке .

Математическое дисконтирование.

Начальная сумма , которая выдается в кредит, находится из формул наращения для простых и сложных процентов (1.8-1.9) и (1.10; 1.12):

для простых процентов , (1.31)

для сложных процентов с начислением процентов m раз в году , (1.32)

для непрерывных процентов . (1.33)

Сумма - это начальная сумма, а - наращенная (будущая) сумма. Индекс t обозначает временной интервал, для которого рассчитывается наращенная сумма. Например, при ежегодном начислении простых процентов в течении n лет t = n.

Банковское дисконтирование.

При банковском[6] дисконтировании, так же как и при математическом дисконтировании, требуется найти начальную сумму, выданную в кредит при известной сумме погашения кредита через период t. Процентный доход за кредит выплачивается сразу при выдаче суммы кредита, которая меньше на величину наращенных процентов, рассчитанных по учетной ставке d. Рассмотрим виды банковского дисконтирования.

Дисконтирование по простой учетной ставке. Учет векселя

При простой ставке дисконтирования d за n периодов дисконтирования начальная сумма равна

. (1.34)

Дисконтирование по простой учетной ставке применяется для краткосрочных кредитов. Коммерческий кредит – это предоставление товаров и услуг с оплатой через определенное время. Условия оплаты кредита весьма разнообразны. Распространенным инструментом коммерческого кредита является коммерческий вексель.[7] Процедура учета векселя (дисконтирования) заключается в продаже его векселедержателем банку или другому субъекту по цене ниже номинальной стоимости векселя. Сумма, выдаваемая банком держателю векселя при учете по простой учетной ставке d за периодов дисконтирования равна

, (1.35)

где - номинал векселя, или сумма, которую должен получить векселедержатель при его погашении через время Т – число дней, оставшееся до погашения векселя, d –учетная ставка или величина дисконта (процента), по которой банк или другое лицо приобрело вексель у векселедержателя до срока его погашения, – сумма, которую получит векселедержатель при досрочном погашении, – временная база обычно равная 360 дней. Учетная ставка должна учитывать риски, связанные с погашением векселя и комиссионные, которые банк собирается получить. Дисконт при учете векселя равен . Формула (1.35) применяется, если .

Дисконтирование по сложной учетной ставке.

Начальная (дисконтированная) сумма при дисконтировании (учете) по сложной учетной d ставке, если учетная ставка за n периодов не меняется равна

, (1.36)

где – сумма в конце n-го периода, d – четная ставка за период.

Если дисконтирование проводится m раз в год, то дисконтированная сумма равна

, (1.37)

где d – годовая учетная ставка, которая называется номинальной учетной ставкой.

При непрерывном дисконтировании по учетной ставке дисконтированная сумма равна

. (1.38)

Пример 11. Фирма продала товар на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя номинальной стоимостью 2,5 млн. руб., сроком 60 дней. Через 45 дней фирма решила учесть вексель в банке. Предложенная банком учетная ставка равна 12%. Найти сумму, полученную векселедержателем и дисконт.

Решение. При учете векселя банком владелец векселя получит сумму (1.34) равную

млн. руб.

Дисконт равен , или ; млн. руб.

Существуют другие способы учета векселей, например, по методу математического дисконтирования (1.31). Владелец векселя в этом случае получит сумму равную = 2,487562 млн.руб.

Дисконт равен руб. Как видно, при учете векселя по методу математического дисконтирования величина дисконта меньше. В зависимости от условий кредитования возможны различные варианты учета векселей. Эти задачи рассмотрены ниже.

Наращение по учетной ставке.

Наращенная сумма по учетной ставке d легко находится из формул дисконтирования для учетной ставке (1.35.-1.37). Наращенная сумма

для простой учетной ставки равна , (1.39)

для сложной учетной ставки с начислением m раз в году . (1.40)

Для операций наращения важным является также момент начисления процентов. Начисление процентов может в начале периода начисления или в конце периода начисления. Подробнее эти методы описаны в гл.2. Декурсивный (последующий) метод – начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При этом наращенная сумма рассчитывается по процентной ставке r по формулам (1.8-1.13). Антисипативный (предварительный) метод – начисление процентов происходит в начале расчетного периода на сумму, которую следует вернуть, наращенная сумма рассчитывается по учетной ставке d (1.39; 1.40).

Пример 12. Срочный вклад в размере 800 тыс. руб. положен в банк на 2,5 года. На вклад начисляются сложные проценты по учетной ставке d = 15% годовых. Рассчитать наращенную сумму по двум методам а) декурсивному , б) антисипативному.

Решение. Наращенная сумма по декурсивному методу находится по формуле (1.35)

= тыс. руб.

Наращенная сумма по антисипативному методу находится по формуле (1.39)

= =1201тыс. руб.

Как видно, при антисипативном способе начисления процентов наращенная сумма больше.

1.6. Эквивалентность процентных ставок

Процентные и учетные ставки в кредитных операциях решают одну и ту же задачу: определяют величину наращенной или дисконтированной суммы. Очевидно, что можно выбрать такие значения и виды процентных и учетных ставок, при которых результаты финансовых операций будут равноценны. Равноценность финансовых результатов означает, что равны начальные, конечные суммы и сроки кредитов.

Процентные ставки, обеспечивающие равноценность финансовых результатов, называются эквивалентными или релятивными (относительными). Эквивалентные процентные ставки означают, что безразлично, по какой процентной ставке получается данная конечная сумма. Соотношения эквивалентности для процентных ставок легко получается из условия равенства отношения наращенной суммы к начальной сумме, т.е. равенства дисконтных множителей или множителей наращения.

Соотношения эквивалентности простой процентной ставки и учетной ставки получается из (1.2) и (1.5)

. (1.41)

Соотношения эквивалентности простой и сложной номинальной ставок легко получить, приравнивая дисконтные множители. При начислении сложных процентов дисконтный множитель за весь период (1.12) равен ; для простых процентов (1.8) дисконтный множитель равен . Приравнивая выражения в правых частей формул, получим процентную ставку сложных процентов эквивалентную ставке простых процентов

. (1.42)

Процентная ставка простых процентов эквивалентная сложной процентной ставке равна

. (1.43)

Пример 13. Ссуда выдана на 1,5 года под 25% простых годовых процентов. Найти эквивалентную ставку сложных процентов при начислении процентов раз (два) в год.

Решение. Расчет проведем по формуле (1.42) при m = 1, получим . Для частоты начисления два раза в год m = 2, получим 0,224 (22,4%).

Пример 14. Какой годовой ставке простых процентов соответствует годовая ставка сложных процентов 20%, если начисление по ней производится ежеквартально?

Решение. Из формулы (1.43) следует

Эквивалентность простой учетной и номинальной сложной процентной ставок

Соотношения эквивалентности простой учетной и номинальной сложной процентной ставки получим, приравнивая дисконтные множители простой учетной (1.35) и сложной процентной (1.12) ставок. В результате получим, что номинальная ставка эквивалентная учетной равна

, (1.44)

а учетная ставка эквивалентная номинальной равна

, (1.45)

где . Используя эквивалентность процентных ставок, можно показать, что метод непрерывно начисления процентов содержит в себе все выше рассмотренные способы начисления процента.

Пример 15. Банк выдал ссуду на 1 год и 3 мес. Под 20% годовых сложных процентов с ежемесячным начислением. Найти величину простой учетной ставки, при которой банк получил такую же наращенную сумму.

Решение. Найдем n: . При m = 4, r = 0,2 эквивалентная простая учетная ставка равна

.

Из приведенных выше примеров, следует, что расчет эквивалентных процентных ставок не представляет сложности. Нетрудно составить соответствующую таблицу эквивалентности процентных и учетных ставок.

Упражнение. Заполните таблицу самостоятельно пропущенные клетки в таблице

Таблица 1.2. Таблица эквивалентности процентных ставок.
Вид ставки	Простой процент r	Простая учетная ставка d	Cложный процент m=1	Cложный процент m раз в год	Эффективная ставка	Сложная учетная ставка	Непрерывная ставка
Простой процент r =	r
Простая учетная ставка d =
Cложный процент m=1
Cложный процент m раз в год
Эффективная ставка =
Сложная учетная ставка =
Непрерывная ставка =

1.7. Средние процентные ставки

Если простые процентные ставки меняются в течение времени, то применяется средневзвешенная процентная ставка. Пусть имеется последовательность простых процентов за последовательные периоды , приравнивая множители наращения, получим средневзвешенную процентную ставку простых процентов из соотношения эквивалентности

,

, (1.46),

где .

Усредненная ставка сложных процентов рассчитывается, как взвешенная геометрическая средняя. Действительно, из соотношения эквивалентности

,

получим взвешенную среднегеометрическую среднюю

. (1.47)

1.8. Доходность финансовой операции

Доходностью финансовой операции за время Т называют величину

, (1.48)

где - начальная сумма, конечная сумма.

Налоги, как и инфляция, оказывают существенное влияние на доходность финансовой операции. Если ставка налога на годовой процентный доход равна g, фактически наращенная сумма уменьшается на величину налога, равную , где - сумма годового дохода.

Пример 16. Акции стоимостью 12000 руб. были проданы через год по цене 14000 руб. Налог на доход составляет 13%. Инфляция в среднем за год 12%. Найти сумму дохода после удержания налога и доходность.

Решение.

После удержания налога доход от продажи акции равен руб. Доходность от продажи акций без учета инфляции равна (1.48) 0,145. Реальная доходность уменьшилась из-за инфляции и равна =0,0223 (2,23%).

Пример 17. Кредит в размере 300 тыс. руб. был выдан на 3 года под номинальную ставку в 16% с поквартальным начислением. При этом при оформлении кредита удерживается 0,5% от суммы кредита. Налог на доход кредитора составляет 13%, инфляция 10% годовых. Найти доходность такой финансовой операции для кредитора.

1.9. Применение финансовых функций Excel для решения задач.

Задачи по финансовым вычислениям, связанным с наращением и дисконтированием, можно решать, используя для расчетов, обычный калькулятор или финансовый калькулятор или табличный процессор Excel. В Excel существует блок финансовых функций, который содержит наиболее часто используемые в финансовых вычислениях процедуры. При вызове необходимой финансовой функции Excel, в открывшемся окне функции дается ее назначение и описание аргументов этой функции. Кроме того, если вызвать справку по этой функции, то приводится пример ее применения. Тем не менее, в данном параграфе для удобства знакомства с финансовыми функциями Excel приводится описание аргументов этих функций и необходимые комментарии.

Задача 1. Пусть начальная сумма равна 10000 руб., годовая процентная ставка равна 10%. Вычислить накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов: а) простые проценты, б) сложные проценты с начислением раз в году, два раза в год, ежемесячно. Временной период равен 1 год, 2 года, 5 лет. Построить графики зависимости наращенной суммы от метода начисления процентов. Сделать выводы.

Решение. С помощью меню «Рисование» создайте окно для текста каждой задачи. Введите или скопируйте текст задачи. Для решения задачи по формулам для простого и сложного процента удобно ввести их рядом с текстом задачи с помощью опций:

Дата добавления: 2015-09-30