I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях. 1 страница

I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях.

1.1 Процентная ставка

Простейшие и самые распространенные финансовые операции связаны с кредитом. Если вы хотите занять деньги, то идете в банк. Банк даст вам деньги с определенными условиями возврата, которые включают величину, способы возврата и время возврата денег. Если вы предоставляете свой капитал на определенное время, то тоже указываете в договоре величину, способы возврата и время возврата денег. При заключении финансового договора кредитор и заемщик договариваются о величине процентной ставки. Процентная ставка (rate of interest) является одной из основных характеристик кредитных, финансовых, коммерческих и инвестиционных контрактов. Процентная ставка – одно из основных финансовых понятий.

Процентная ставка учитывает фактор времени. В контрактах обязательно указывается сроки, периоды выплаты денег.

Фраза «доллар сегодня дороже, чем доллар завтра», отражает основной принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of many). Имеющуюся сегодня сумму можно инвестировать и получить в будущем доход, и сегодняшние 1000 руб. имеют большую ценность чем те же 1000 руб. через три или пять лет с учетом инфляции и рисков невозврата инвестиции (кредита). Фактор времени в долгосрочных операциях иногда оказывается важнее, чем величина суммы денег.

Процентная ставка учитывает временной интервал, который называется периодом начисления (running period). Периодом начисления может быть год, квартал, месяц, день. В практической деятельности и в статистике обычно подразумеваются годовые процентные ставки.

Процентная ставка учитывает риски финансовых операций и инфляцию. Процентная ставка является мерой эффективности (доходности) финансовой деятельности, кредитования, инвестиции, коммерческой деятельности.

Существуют различные виды процентных ставок. Ставки наращения (interest base rate), которые в зависимости от начальной суммы (базы начисления) в соответствующем периоде начисления подразделяются на простые и сложные. Учетная ставка (discount rate) – используется в операциях банковского дисконтирования, когда необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме.

Процентные ставки бывают фиксированным и плавающими. Базовая процентная ставка показывает изменяющуюся во времени базу и размер надбавки к ней (маржу). Например, межбанковская ставка LIBOR[1] (London interbank offered rate), базовая ставка по рублевым кредитам МИБОР.

Важные для финансовой деятельности процентные ставки имеют специальное название. Это ставки рефинансирования Центрального Банка России (для США Федеральной резервной системы, далее ФРС). Ставка рефинансирования – это процентная ставка, по которой ЦБ выдает кредиты коммерческим банкам. За их изменениями внимательно следят участники финансового рынка.

Процентные ставки изменяются во времени, и зависимость от времени процентной ставки (временная структура процентной ставки) является одной их важнейших характеристик финансового рынка.

Процентные ставки выражаются либо в процентах, либо в долях единицы. Далее везде будем использовать в формулах значения процентов в виде десятичной дроби.

1.2 Процессы наращения и дисконтирования.

Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег. Пусть - исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме

. (1.1)

Величина называется процентной ставкой за период наращения Т.

Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value)[2] (FV –future value)

наращение

Наращенная сумма за период t, как следует из формулы (1.1) равна

. (1.2)

Время генерирует деньги.

Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме , то этот процесс называется дисконтированием.

Рис.1.2. Графическое изображение процесса дисконтирования.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value) (FV –future value)

дисконтирование

, (1.3)

величина d – называется ставкой дисконтирования за время t. Дисконтом D называется разница между суммой возврата и первоначальной суммой долга.

. (1.4)

Процесс нахождения первоначальной суммы при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна

. (1.5)

В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.

Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.

, .Если , а , то ,

следовательно процентная ставка r и дисконт d cвязаны соотношением

. (1.6)

Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r.

Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r. При математическом дисконтировании сумма за один период равна

. (1.7)

Если величина , то можно использовать приближение , в результате получим .

Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t. Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.

Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.

Решение.

а) в процентах r = 50%, d = 33,33%.

б) , в процентах r = 5%, d = 4,8%.

При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.

Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.

Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна

572 тыс. руб.

Начальная сумма, рассчитанная по методу математического дисконтирования равна

580,357 тыс. руб.

Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.

Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d, учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.

1.3. Начисление простого процента и сложного процента.

Простой процент.

Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращиванием без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна

, (1.8)

где r – годовая процентная ставка n – число лет.

Если начисление процента происходит ежедневно, то для простых процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

, (1.9)

где - временная база, или число дней в финансовом году^[3], Т – число дней наращения.

Процентный доход равен или .

Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.

Решение. По формуле (1.9) найдем наращенную сумму

2,4 млн. руб. Процентный доход равен =0,4 млн. руб.

Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процент возрастает на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.

Решение. Найдем процентный доход за первые три месяца =300 руб. Найдем процентный доход за следующие три месяца =337,5 руб. За все шесть месяцев процентный доход равен 300+337,5=637,5 руб. Наращенная сумма равна 30637,5 руб.

Сложный процент.

Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией». Наращенная сумма при начислении сложного процента за произвольное число дней равна

, (1.10)

где r - годовая процентная ставка (per annual), выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. В зависимости от внутренних правил банка для расчета наращенной суммы при дробном числе лет как формула (1.10) или применяться приближенная формула.

, (1.11)

где i - целая часть числа , а f - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле

, (1.12)

где r – годовая процентная ставка (номинальная), – процентная ставка за период (periodic interest rate). Величина – называется множителем наращения, а – коэффициентом наращения. Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах, когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.

Рис.1.3. Наращенная сумма в зависимости от частоты начисления процентов

Рис.1.4. Наращенная сумма для простых и сложных процентов

Непрерывное начисление процентов.

Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле

, (1.13)

где – число лет. При выводе (1.13) мы использовали известное приближение , где , при .

В практике кредитных расчетов непрерывное начисление процентов применяется редко. Обычно для кредитных расчетов применяется ежедневное начисление процентов. При непрерывном начислении процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

, (1.14)

где – сила роста, которая является фактически непрерывной процентной ставкой. Если сила роста постоянна, то наращенная сумма за время t равна

, (1.15)

При нестабильной экономике процентные ставки могут значительно изменяться в течение года. В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле

, (1.16)

где – последовательные значения процентных ставок в соответствующие периоды.

Если необходимо найти количество лет для увеличения начальной суммы в N раз, то для простых процентов имеем из формулы (1.8)

; (1.17)

для сложных процентов из формулы (1.12)

, (1.18)

. (1.19)

Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.

Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:

N = 1,2; m = 4, 2 года.

Пример 7. Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, два года, 5 лет. Начальная сумма равна 1000 руб., годовая процентная ставка равна 10%.

Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.

Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году.

	сумма	Частота начислений в году	Наращенная сумма	Базисное наращение	Цепное наращение
		m
	Начальная сумма 1000
			1102,5	102,5	2,5
			1103,813	103,813	1,313
			1104,260	104,260	0,448
			1104,713	104,713	0,453
			1105,171	105,171	0,458

частота начисления %	m	Множитель наращения
один год	два года	пять лет
раз в год		1,1	1,21	1,61051
два раза в год		1,1025	1,2155	1,6289
раз в квартал		1,1038	1,2184	1,6386
ежемесячно		1,1047	1,2204	1,6453
ежедневно		1,1052	1,2214	1,6486
непрерывное		1,1052	1,2214	1,6487

Рис. 1.5. Зависимость наращенной суммы и величины множителя наращения от частоты начисления процентов.

Эффективная процентная ставка.

В финансовых расчетах при анализе доходности финансовых операций часто приходится сравнивать различные виды процентных ставок, в которых выражается доходность данной конкретной финансовой операции. Например, банки предоставляют различные виды депозита с различными сроками, частотой начисления процентного дохода, различными номинальными ставками. Какой вариант выбрать? Или, например, другая задача. Вы хотите инвестировать 10000 руб. Возможны несколько вариантов: положить на депозит, купить облигации или купить акции. Эти финансовые операции также характеризуются величиной процентной ставки. Для сравнения результатов финансовых операций обычно применятся эффективная процентная ставка.

Эффективной процентной ставкой называется годичная ставка сложных процентов, дающая тот же финансовый результат: соотношение между полученной суммой за время t = T и затраченной суммой , которая получается при любой схеме выплат.

, (1.20)

, (1.21)

где Т измеряется в годах. Эффективная процентная ставка, как видно из формулы (1.21), зависит от отношения конечной и начальной сумм и от продолжительности периода начисления процентов .

Если проценты начисляются m раз в год по схеме сложных процентов, то формула (1.20) приобретает более простой вид. Действительно, из формулы (1.12), учитывая, что Т = n получим

. (1.22)

Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные методы получения процентного дохода.

Пример 8. Найти эффективную процентную ставку при ежеквартальном начислении сложных процентов. Номинальная (годовая) процентная ставка равна 18%.

Решение. r = 0,18; m = 4, , .

Сравним наращенные суммы при начислении по эффективной процентной ставке и номинальной. Пусть первоначальная сумма вклада равна 400 тыс. руб., процентная ставка равна 19,25%, срок вклада 2 года. Наращенная сумма равна

тыс. руб.

Пусть теперь та же сумма 400 тыс. руб. вносится на два года под 18% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Наращенная сумма в этом случае равна

тыс. руб.

Наращенные суммы равны. Это означает, что наращение по эффективной процентной ставке дает тот же финансовый результат, что и наращение при ежеквартальном начислении сложных процентов по номинальной процентной ставке.

Пример 9. Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежеквартального начисления сложных процентов из расчета 75% годовых, б) на условиях полугодового начисления сложных процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант предпочесть?

Решение. Задачу можно решить двумя способами: 1) сравнить наращенные суммы, 2) сравнить эффективные процентные ставки.

1) Наращенная сумма при ежеквартальном начислении сложных процентов равна (1.12) руб.

Наращенная сумма при полугодовом начислении сложных процентов равна (1.12)

m = 2; ; 196000 руб.

Наращенная сумма при сложной процентной ставке с начислением два раза в год меньше и для предпринимателя ссуда по варианту б) выгоднее, поскольку меньше возвращаемая сумма.

2) Найдем эффективную процентную ставку для варианта а): m = 4; r= 0,75; 0,9885 (98,85%); для варианта б) m = 2; r = 0,80; 0,96 (96,0%). Несмотря на то, что величина номинальной процентной ставки в 75,0% меньше, чем 80,0%, эффективная ставка меньше во втором случае. Этот пример показывает, что в данном случае, на величину наращенной суммы сильное влияние оказывает частота начисления процентов, и делать вывод о предпочтительности одного способа ссуды по сравнению с другим просто на сравнении величин номинальных ставок неверно.

1. 4. Процентная ставка в условиях инфляции.

Если имеется инфляция, то для сохранения заданной доходности (реальной доходности), расчеты следует проводить по процентной ставке учитывающей инфляцию^[4].

, (1.22)

где r – номинальная процентная ставка, – реальная процентная ставка, – темп инфляции. Иногда номинальную ставку называют брутто-ставкой. Формулу (1.22) называют формулой Фишера, вывод которой приведен ниже. Обычно в популярной литературе считают, что для сохранения заданной доходности () достаточно чтобы номинальная ставка превышала реальную доходность на величину темпа инфляции, но это верно, для малых величин 0,2.

С темпом инфляции связан индекс цен за период T

Дата добавления: 2015-09-30