Т е м а 1. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії 4 страница

Рівняння прямої легко записати, скориставшись формулою (1.16):

або .

Рівняння другої прямої запишемо, скориставшись формулою (1.13) і обравши нормальним вектором напрямний вектор прямої : .

Таким чином, для розв’язування задачі маємо систему

Розв’язавши цю систему, отримаємо , .

Відповідь: проекцією точки на задану пряму буде точка .

Приклад 1.15. Знайти кут між прямими та .

Розв’язок. Кут між заданими прямими лініями дорівнює куту між їхніми нормальними векторами та . За формулою (1.8) маємо:

Відповідь: .

1.7. Площина.

Положення площини у просторі однозначно визначається точкою, що належить площині, і нормальним (перпендикулярним до площини) вектором.

Якщо площина проходить через задану точку і має нормальний вектор (рис. 1.19) то її рівняння має вигляд

, (1.17)

де - змінні координати будь-якої точки площини.

Розкривши дужки і зробивши позначення , отримаємо загальне рівняння площини:

Як і в формулі (1.17), тут , , - координати нормального вектора площини.

Використовуючи рівняння (1.17), легко записати рівняння площини, що проходить через три задані точки , , . Дійсно, у цьому випадку за нормальний вектор площини можна взяти вектор , а як задану точку - одну із заданих точок.

Приклад 1.16. Написати рівняння площини, що проходить через точки , , .

Розв’язок. Введемо до розгляду вектори та . За нормальний вектор площини візьмемо вектор

а за задану точку - точку . Тоді згідно з формулою (1.17) шукане рівняння матиме вигляд

або

Кут між площинами дорівнює куту між їхніми нормальними векторами, і косинус кута між площинами можна знайти за формулою (1.8).

Приклад 1.17. Знайти величину кута між площинами

і .

Розв’язок. Оскільки кут між площинами дорівнює куту між їхніми нормальними векторами та , то

Відповідь: .

Приклад 1.18. Знайти відстань між площинами

і .

Розв’язок. Очевидно, що площини паралельні, тому шо мають один і той же нормальний вектор . Крім того, зрозуміло, що відстань між площинами дорівнює модулю проекції на вектор вектора, початком якого є будь-яка точка однієї площини, а кінцем - будь-яка точка другої площини.

Візьмемо на першій площині точку , на другій - точку і розглянемо вектор . Тоді відстань між площинами

Відповідь: .

1.8. Пряма лінія у просторі.

Слід звернути увагу на те, що пряма у просторі, як і пряма на площині однозначно визначається точкою на прямій та напрямним (паралельним до прямої) вектором.

Якщо пряма проходить через точку і має напрямний вектор , то її канонічні рівняння мають вигляд

. (1.18)

Окрім того, пряма у просторі може бути задана загальними рівняннями

(1.19)

що являють собою рівняння двох площин, перетином яких є пряма, яку ми розглядаємо.

Для переходу від формули (1.19) до формули (1.18) досить за точку взяти будь-який розв’язок системи (1.19), а за напрямний вектор - вектор , де , - нормальні вектори площин, що задають пряму лінію.

Приклад 1.19. Записати канонічні рівняння прямої лінії, загальні рівняння якої мають вигляд:

Розв’язок. За напрямний вектор прямої візьмемо вектор

Одну з точок на прямій лінії знайдемо, розв’язавши систему заданих загальних рівнянь прямої:

Поклавши , знайдемо , .

Таким чином, за задану точку можна взяти точку . Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вигляд:

або .

Очевидно, що кут між двома прямими дорівнює куту між їхніми напрямними векторами, а, кут між прямою і площиною дорівнює , де - величина куга між нормальним вектором площини та напрямним вектором прямої (рис.1.15).

Синус кута між прямою та площиною виражається формулою:

Приклад 1.20. Скласти рівняння прямої лінії, що проходить через точку перпендикулярно до площини .

Розв’язок. За напрямний вектор візьмемо нормальний вектор заданої площини. Тоді згідно з формулою (1.18) канонічні рівняння прямої будуть мати вигляд: