Т е м а 1. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії 1 страница

Т е м а 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

1.1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса.

У цьому розділі особливу увагу слід звернути на теорію систем лінійних алгебраїчних рівнянь, з якими доводиться мати справу у багатьох задачах вищої математики та її застосувань.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими має вигляд

(1.1)

де - коефіцієнти системи; - невідомі; - вільні члени або праві частини системи; , ; - номер рівняння, - номер невідомого.

Кількість рівнянь може бути менше, дорівнювати або більше кількості невідомих .

Треба знати, що система неоднорідна, якщо вільний член хоча б одного з рівнянь відрізняється від нуля, й однорідна, якщо, вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю.

Система сумісна, якщо вона має хоча б один розв’язок, й несумісна, якщо вона не має жодного розв’язку. Сумісна система визначена, якщо вона має один єдиний розв’язок, і невизначена, якщо розв’язків більше одного.

Найбільш простим і раціональним методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовних виключень (метод Гаусса).

Ідея метода Гаусса полягає у зведенні системи рівнянь до одного рівняння. Для цього досить з будь-якого рівняння системи виразити будь-яке невідоме через інші й підставити його значення до усіх рівнянь, що залишилися. Отримаємо систему, що має на одне невідоме менше та щонайменше на одне рівняння менше. При цьому ті рівняння, шо мають вигляд , слід відкинути.

З новою системою робимо те ж саме доти, доки не прийдемо до одного рівняння з одним або кількома невідомими або не отримаємо рівняння вигляду (). В останньому випадку система є несумісною.

Якщо внаслідок виключення невідомих одержимо одне рівняння з одним невідомим, то знайдемо його значення, а потім, підставляючи послідовно значення знайдених невідомих у вирази для виключених невідомих, знайдемо усі інші невідомі.

Ясно, що у цьому випадку отримаємо єдиний розв’язок і, отже, система є сумісною визначеною.

Якщо ж унаслідок виключення отримаємо одне рівняння з декількома невідомими, то у той же спосіб зможемо лише виразити деякі невідомі через решту. У цьому випадку система має нескінченну кількість розв’язків, отже, є сумісною невизначеною. При цьому для отримання визначеного розв’язку необхідно частині невідомих надати довільні значення, а потім з їх допомогою знайти значення решти невідомих.

Обов’язково слід зробити перевірку правильності розв’язку. Для цього необхідно підставити розв’язок у ліві частини всіх рівнянь системи. Якщо при цьому значення лівих частин дорівнює правим, то систему розв’язано вірно, у протилежному випадку слід розв’язувати систему заново повністю.

При розв’язуванні систем з цілими коефіцієнтами треба пам’ятати, що у цьому випадку систему можна звести до одного рівняння, оперуючи лише з цілими числами. Для цього досить на кожному кроці зробити який-небуль коефіцієнт системи рівним одиниці, комбінуючи рівняння системи.

Приклад 1.1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язок.

Перевірка:

Оскільки значення лівих частин рівнянь системи при знайдених значеннях невідомих дорівнюють правим частинам, то систему розв’язано вірно.

Відповідь: , , .

На практиці часто розв’язування системи виконують у табличній формі, виписуючи лише коефіцієнти та праві частини системи. Покажемо це на попередьому прикладі.

Остання таблиця зображує систему

З останнього рівняння знаходимо: . Тоді з другого рівняння і, нарешті, з першого . Порівняйте з тим, що отримано раніше.

Зверніть увагу на оформлення розв’язків системи в обох випадках, що дозволяють обійтись мінімумом пояснень і мають більше наочності.

Одна з переваг метода Гаусса над іншими полягає в тому, що за цим методом можна розв’язувати як однорідні, так і неоднорідні системи з будь-яким співвідношенням числа невідомих і кількості рівнянь.

Треба запам’ятати, що при розв’язуванні систем з багатозначними коефіцієнтами, коли доводиться робити округлення й, зокрема, при розв’язуванні систем на ЕОМ для зменшення помилок округлення використовується метод головних елементів, який відрізняється від наведеної схеми розв’язування лише тим, що на кожному кроці виключається невідоме з найбільшим за модулем коефіцієнтом.

1.2. Визначники. Правило Крамера.

Розрізняють визначники (або детермінанти) другого, третього й більш високих порядків.

Визначник другого порядку:

.

Тут зліва - позначення визначника другого порядку, праворуч - його значення.

Величини () - елементи визначника.

Як бачимо, визначник другого порядку має елемента, що розташовані в вигляді таблиці з двома рядками та двома стовпцями, розміщеної між двома вертикальними лініями. Рядки й стовпці визначника мають назву рядів.

Треба звернути увагу на індекси елементів визначника: перший індекс вказує номер рядка, а другий - номер стовпця, у яких розташований елемент.

Якщо елементи визначника являють собою числа, то визначник також є число, що одержують за вказаною вище формулою.

Визначники позначаються, як правило, грецькими літерами або .

Приклад 1.2. Обчислити визначник

Розв’язок.

Визначник третього порядку:

Хоча вираз для визначника третього порядку є досить громіздкий, закон його складання дуже простий. Схематично правило обчислення визначника третього порядку можна зобразити таким чином:

Легко також запам’ятати правило Сар’юса обчислення визначників третього порядку. Згідно з цим правилом слід приписати праворуч від визначника перший та другий стовпці або знизу від визначника перший та другий рядки та вибрати відповідні добутки елементів згідно з наведеною нижче схемою:

Приклад 1.3. Обчислити визначник

Розв’язок.

Як бачимо, якщо елементами визначника є числа, то й визначник також є число.

Визначник го порядку позначають так:

.

Він має елементів з членів. При визначник має членів, для запису яких треба було б мати більш 20 тисяч сторінок. Тому обчислення визначників більш ніж третього порядку зводиться до обчислення визначників третього або другого порядків за допомогою таких двох властивостей визначника:

1. визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого ряду (рядка або стовпця) додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на одне й те саме число;

2. визначник довільного порядку дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення, зокрема, якщо у визначника го порядку всі елементи, крім одного, будь-якого ряду дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку цього елемента, що відрізняється від нуля, на його алгебраїчне доповнення.

За допомогою першої з цих властивостей у будь-якому ряду всі елементи, крім одного, робимо рівними нулю, а з допомогою другої - порядок визначника знижуємо на одиницю. Так робимо доти, доки не прийдемо до визначника третього або другого порядків.

Нагадаємо, що алгебраїчним доповненням елемента визначника го порядку є добуток та визначника го порядку, який називається мінором, отриманого з даного визначника викреслюванням го рядка та го стовпця. Позначають алгебраїчне доповнення елемента через , а мінор елемента через . При цьому .

Приклад 1.4. Обчислити визначник

.

Розв’язок. Визначник не зміниться, якщо другий рядок ми додамо до першого й віднімемо від третього та четвертого, тобто:

.

Використовуючи той факт, що в третьому стовпці даного визначника знаходяться три нулі, розкладемо визначник за елементами третього стовпця. Тоді одержимо:

.

Якщо від третього стовпця віднімемо подвоєний перший, то матимемо:

.

Знову ж таки, використовуючи те, що в другому рядку є два нулі, розкладаючи визначник за елементами другого рядка остаточно маємо:

Використовуючи визначники розв’язують системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера.

Розглянемо квадратну систему лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто таку систему, в якій кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих:

(1.2)

За правилом Крамера розв’язок такої системи шукають за формулами:

, (1.3)

де

- визначник системи;

- визначник,

який отримують з визначника системи заміною го стовпця стовпцем правих частин.

Очевидно, що за правилом Крамера можна розв’язувати лише системи з рівнянь з невідомими з відмінним від нуля визначником системи. У цьому полягає його першій недолік у порівнянні з методом Гаусса. Крім того, для розв’язування системи за правилом Крамера необхідно обчислиш визначник го порядку, а обчислення одного визначника го порядку по обсягу обчислень порівняне з розв’язуванням системи рівнянь з невідомими за методом Гаусса. У цьому другий недолік правила Крамера. Тому правило Крамера має більш теоретичне значення, ніж практичне, і на практиці його використовувати нераціонально. Однак при розв’язуванні двох або трьох рівнянь з двома й трьома невідомими відповідно зазначені недоліки не такі вже страшні і є можливість скористатися правилом Крамера.

Приклад 1.5. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими за правилом Крамера.

Розв’язок. Знаходимо:

,

,

,

.

Отже, згідно з (1.3) дістанемо:

, , .

Перевірка:

Отже, дана система рівнянь розв’язана вірно.

Слід звернути увагу, що при система має єдиний розв’язок. Якщо ж , то система може бути сумісною невизначеною або несумісною.

Однорідна система з лінійних алтебраїчних рівнянь з невідомими завжди має тривіальний (нульовий) розв’язок. Якщо визначник такої системи відмінний від нуля, то тривіальний розв’язок є єдиним розв’язком системи. Для того щоб система мала нетривіальний розв’язок, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю.

1.3. Матриці та дії над ними.

Матриця - це впорядкована таблиця чисел, що має рядків та стовпців. Матриця записується в вигляді такої таблиці в круглих дужках і позначається як правило прописними латинськими літерами:

.

Зверніть увагу на різницю між матрицею та визначником: визначник - це деяка величина, яку позначають у вигляді квадратної таблиці, матриця - це завжди таблиця чисел, ніяк по іншому не представима.

Як і в визначниках, числа - елементи матриці, де - номер рядка, - номер стовпця, у яких розміщений даний елемент.

Числа та визначають розміри матриці. Якщо , то матриця прямокутна, якщо , то матриця квадратна порядку . Квадратна матриця має свій визначник, який позначається або .

Квадратна матриця, у якій відмінні від нуля лише елементи, що знаходяться на діагоналі з елементом , має назву діагональної. Якщо усі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то маємо одиничну матрицю, яка відіграє роль одиниці у матричному численні. Роль нуля відіграє нульова матриця, тобто матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю.

Наприклад:

- прямокутна матриця розмірності ;

- квадратна матриця другого порядку;

- діагональна матриця третього порядку;

- одинична матриця третього порядку;

- нульова матриця розмірності ;

- матриця-стовпець;

- матриця-рядок.

Дві матриці та з однаковими розмірами вважаються рівними, коли їхні відповідні елементи рівні, тобто коли , , . У цьому випадку пишуть .

Матриці можна транспонувати, множити на число, додавати, множити на матрицю.

Транспонувати - це означає зробити рядки матриці стовпцями з тими ж номерами, а стовпці - рядяками. Матрицю, транспоновану до матриці , позначають .

Щоб помножити матрицю на число, досить кожний елемент матриці помножити на це число.

Сума двох матриць є матриця, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць-доданків. З означення витікає, що додавати можна лише матриці однакових розмірів. Суму матриць та позначають .

У той же спосіб визначають різницю двох матриць та .

Означені вище матриці мають усі властивості додавання й множення чисел:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Тут , - числа; , , - матриці.

Приклад 1.6. Дано матриці:

, .

Знайти , , , .

Розв’язок.

.

.

Суму отримати неможливо. Чому?

Дещо складніше визначають добуток двох матриць та .

За означенням добуток матриць та є матриця , елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів го рядка матриці та го стовпця матриці .

Із означення витікає, що помножити матрицю на матрицю можна лише у випадку, коли кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці Щоб отримати й рядок добутку, необхідно помножити й рядок матриці на кожний стовпець матриці .

Таким чином, якщо

, ,

то

.

Як бачимо, якщо матриця має розміри , а матриця - розміри , то матриця має розміри , тобто добуток двох матриць є матриця, кількість рядків якої дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців - кількості стовпців другої матриці.

Дата добавления: 2015-09-29