Очевидно, по перестановчий закон у загальному випадку не має місця: 
. Навіть не завжди існують 
та 
.
Матриці, для яких діє перестановчий закон, мають назву переставних. Так, якщо 
- квадратна матриця 
го порядку, а 
- одинична матриця го порядку, то 
. Перевірте!
Множення матриці на матрицю має такі властивості:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Приклад 1.7. Знайти добутки та , якщо:
, 
.
Розв’язок.
.
.
Отже, матриці-добутки та не тільки не рівні, але навіть piзної розмірності.
Важливим поняттям матричного числення є поняття оберненої матриці. Обернена матриця до квадратної невиродженої матриці є матриця 
така, що 
, де - одинична матриця.
Обернена матриця для невиродженої квадратної матриці
.
може бути знайдена за формулою
,
де 
- визначник матриці ; 
- алгебраїчні доповнення елементів 
визначника матриці (
).
Приклад 1.8. Дана матриця
.
Обчислити обернену матрицю .
Розв’язок. Знаходження оберненої матриці можна умовно розділити на п’ять етапів.
1-й етап:
,
тобто icнyє.
2-й етап:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
3-й етап:
.
4-й етап:
.
5-й етап:
.
Зробимо пepeвipкy:
.
Матричне числення дуже ефективно використовують в теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Систему (1.1) за допомогою матриць можна записати більш коротко:
,
де
, 
, 
.
Тут - матриця системи; 
- матриця-стовпець невідомих; 
- матряця-стовпець правих частин рівнянь.
Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має 
рівнянь та невідомих та її матриця невироджена, то розв’язок системи можна подати у вигляді
.
Приклад 1.9. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці:
Розв’язок. Систему перепишемо у матричній формі:
або
,
де
, 
, 
.
Знаходимо обернену матрицю:
,
звідки
,
або 
, 
, 
.
1.4. Вектори та дії над ними.
Слід розрізняти геометричну і координатну форми векторів. У геометричній формі - це спрямований відрізок, напрямок якого співпадає з напрямком векторної величини, а довжина у вибраному масштабі дорівнює числовому значенню векторної величини, яку цей вектор зображає. Напрямок вектора вказують стрілкою.
Позначають вектор однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею або двома великими літерами латинського алфавіту зі стрілкою над ними, причому перша літера зображує початок, а друга кінець вектора. Наприклад: 
або 
(рис.1.1.). У книгах часто стрілку замінюють жирним шрифтом. Треба мати це на увазі.
Модуль вектора це його довжина у вибраному масштабі. Позначають модуль вектора таким же чином, що й вектор, тільки позначення вектора міститься між вертикальними рисочками (знаком модуля). Наприклад, 
або 
.
Два вектори вважаються рівними, якщо їх можна сумістити паралельним перенесенням, тобто якщо вони паралельні, однаково спрямовані та мають однакову довжину (рис. 1.2).
Звідси витікає, то вектор можна переносити паралельно самому собі у будь-яку точку простору.
Роль нуля у векторній алгебрі відіграє нульовий вектор, тобто вектор, довжина якого дорівнює нулю (кінець вектора співпадає з його початком). Необхідно запам’ятати, що нульовий вектор не має
визначеного напрямку, його напрямок можна вибрати довільним чином.
Часто у векторній алгебрі використовують поняття протилежних, колінеарних й компланарних векторів.
Протилежні вектори - це два паралельні вектори, шо мають однакову довжину і протилежні напрямки (рис. 1.З). Їх позначають так: 
або 
.
Колінеарні вектори - це вектори, паралельні між собою або ті що лежать на одній або на паралельних прямих. Наприклад вектори , 
, 
, 
на рис. 1.4.
Компланарні вектори - це вектори, що лежать у одній або паралельних площинах. Наприклад, вектори , , , на рис. 1.5.
Вектори можна додавати, віднімати, множити скалярно і векторно. Крім того, у векторній алгебрі розглядають мішаний та подвійний добутки трьох векторів.
При вивченні дій над векторами особливу увагу слід звернути на їх застосування.
Сума 
векторів 
, 
,..., 
у геометричній формі є вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора за умовою, що вектори побудовані так, що кінець першого вектора співпадає з початком другого, кінець другого - з початком третього і т.д.
На рис.1.6 показана сума трьох векторів , і .
Сума векторів має такі властивості:
1. 
;
2. 
.
Різниця 
векторів і у геометричній формі - це вектор сума якого з вектором дає вектор . Часто різницю визначають як суму векторів та 
.
Добуток вектора та скаляра 
у геометричній формі - це вектор 
, модуль якого дорівнює 
, а напрямок співпадає з напрямком вектора , якщо 
, і протилежний напрямку вектора , якщо 
. З означення витікає, що вектори 
та - колінеарні.
Добуток вектора та скаляра має такі властивості:
1. ;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Важливим поняттям є поняття орт вектора. Орт вектора - це вектор 
, довжина якого дорівнює одиниці, а напрямок співпадає з напрямком вектора ( - орт вектора 
).
Очевидно, що 
, 
.
Особливу увагу треба звернути на фундаментальні поняття лінійно залежних і лінійно незалежних векторів, векторного базису.
векторів , , …, - лінійно залежні, якщо існують числа 
, 
,..., 
, не всі рівні нулю, такі, що виконується рівняння 
. Якщо ж це рівняння можливе лише за умовою, що всі , ,..., дорівнюють нулю, то вектори є лінійно залежними. Прикладами лінійно залежних векторів можуть бути колінеарні й компланарні вектори. Будь-які два неколінеарні вектори лінійно незалежні, як і будь-які три некомпланарні вектори.
Векторний базис тривимірного простору - це будь-які три лінійно незалежні вектори.
Якщо , , - базис тривимірного простору, то будь-який вектор простору зображують у вигляді лінійної комбінації векторів , , : 
. Числа 
, 
, 
- координати вектора у базисі , , .
Як правило, у тривимірному просторі обирають ортонормований базис, що складається з трьох одиничних взаємно ортогональних векторів 
, 
, 
, які є ортами осей 
, 
, 
прямокутної системи координат, а будь-який вектор зображують у координатній формі: 
, де 
, 
, 
- прямокутні координати вектора (рис. 1.7).
У координатній формі вектори складають, віднімають й множать на скаляр як многочлени.
Якщо , 
, то
,
,
.
Використовуючи ці лінійні операції над векторами у координатній формі та поняття радіуса-вектора точки, легко знайти координати вектора за координатами його кінця й початку та координати точки, що ділить заданий відрізок у відношенні .
Радіус-вектор точки 
- це вектор 
що має ті ж самі координати, що й точка .
Якщо вектор має своїм початком точку , а кінцем - точку 
, то
, (1.4)
тобто координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця й початку вектора.
Якщо вектор має своїм початком точку , а кінцем - точку , то
, (1.4)
тобто координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця й початку вектора.
Якщо точка 
ділить відрізок у відношенні , тобто 
, то легко знайти
, 
, 
.
Зокрема, координати середини відрізка (
) дорівнюють:
, 
, 
.
При знаходженні добутку векторів використовують поняття кута між двома векторами, кута між вектором та віссю, проекції вектора на вісь.
Кут між двома векторами та - це кут менший або рівний 
, замкнений між векторами, побудованими з одного початку (рис. 1. 8).
Кут між векторами та віссю - це кут між вектором і ортом осі.
Проекція вектора на вісь 
- це величина спрямованого відрізка на осі , початком якого є проекція початку вектора, а кінцем - проекція кінця вектора (рис. 1. 9). Позначають цю проекцію через 
.
Легко побачити, що 
. Аналогічно знаходять проекцію вектора на :
. (1.5)
Проекції векторів мають такі властивості:
1. 
;
2. 
.
Скалярний добуток 
(або 
) векторів і у геометричній формі є скаляр, що дорівнює добутку модулів векторів-співмножників з косинусом кута між ними:
.
Використовуючи вираз (1.5), цю формулу можна записати й так
. (1.6)
Зверніть увагу на механічний зміст скалярного добутку. Через те що робота сили 
на прямолінійному шляху 
дорівнює добутку модуля сили, довжини шляху й косинуса кута між ними, тобто 
, то скалярний добуток можна трактувати як роботу вектора сили при переміщенні.
Скалярний добуток має такі властивості:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
, якщо 
й навпаки;
5. 
.
Використовуючи властивості 1-3, легко побачити, що скалярний добуток векторів та , заданих у координатній формі, дорівнює добутку однойменних координат:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 35 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |