I. Идеальный газ. Процессы в газах.

I. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ.

1. Уравнение состояния идеального газа (производные формы):

, , , , где

P – давление, N – число молекул,

k – постоянная Больцмана, V – объём,

m – масса газа, T – абсолютная температура,

- плотность газа, - молярная масса,

R – универсальная газовая постоянная, n – концентрация молекул.

2. Закон Дальтона:

, где P_i – парциальниое давление.

3. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы:

а) изотермический, Т = const,

б) изобарный, P = const,

в) изохорный, V = const,

Примеры решения задач.

Задача 1. В баллоне объёмом V=20 л находится аргон под давлением P₁ = 1,0 МПа и температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято Δm = 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Дано: Решение:

V = 20 л = 2,0·10^-2 м³ Для решения задачи воспользуемся уравнением

Р₁ = 1,0 МПа = 1,0·10⁶ Па состояния идеального газа, применив его к начальному

Т₁ = 300 К и конечному состояниям газа:

Т₂ = 280 К

Δm = 20,0 г = 2,0·10^-2 кг , (1)

R = 8.31Дж/моль·К (2)

Р₂ -?

Из уравнений (1) и (2) выразим m₁ и m₂ и найдём их разность:

Откуда находим:

(3)

Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое:

Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль.

Ответ:

Задача 2. В сосуде находится смесь m₁=14,0 г азота и m₂=16,0 г кислорода

при Т=300 К и давлении Р=8,3 кПа. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Дано: Решение

Для каждого компонента в смеси газов можно записать

уравнения состояния.

Давление смеси равно (по закону Дальтона).

Суммируя (1) и (2) с учётом закона Дальтона, найдём объём газа:

(3)

Для плотности смеси находим:

(4)

Проверка размерности:

Вычисления:

Ответ: кг/м³.

Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон объёмом V=10,0 л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объём ΔV=0,4 л. Через сколько циклов давление в баллоне уменьшится от Р_0­=0,1 МПа до Р=0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным.

Дано: Решение

V = 10 л = 1,0 10^-2 м³ Для изотермического процесса в первом

ΔV = 0,4 л = 0,4 10^-3 м³ и следующих циклах можно записать:

Р₀ = 0,1 МПа = 1,0 10⁵ Па , (1)

Р = 0,1 кПа = 100 Па ,

Т = const -----------------------

N -? .

Получаем рекуррентную формулу:

, (2)

где N – число циклов.

Прологарифмировав соотношение (2), получим для числа циклов

(3).

Правая часть (3) содержит отношения однородных величин и является безмерной.

Вычисления:

Ответ: N=176 циклов.

Задача 4. Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, для которого зависимость давления от объёма задана уравнением P=P₀-αV², где P₀=0,1 МПа, α=1,0·10⁷ Па·моль²/м⁶, V – объём одного моля газа.

Дано: Решение

P=P₀-αV²

P₀=0,1 МПа=10⁵ Па Найдём зависимость . Для этого воспользуемся

α=1,0·10⁷ Па·моль²/м⁶ уравнением состояния для одного моля газа

.

Т­_max -?

Исключая давление, получим:

. (1)

Из следующих условий находим максимум функции T(V):

Получается, что в области положительных значений V и Т зависимость (1) при объёме моля газа

имеет максимальную температуру, равную

.

Проверка размерности:

Вычисления:

Ответ: =465 К.

Задачи для самостоятельного решения.

1.1. Найти число молекул водорода в объёме 1,55 л при температуре 27°С и давлении 750 мм рт. ст.

1.2. Найти концентрацию и плотность азота при давлении 10^-4 мм рт. Ст. и температуре 15°С.

1.3. Найти массу одной молекулы: азота (N₂), аммиака (NH₃), ацетиле­на (C₂H₂),ацетона (CH₃COCH₃).

1.4. Сколько молекул содержится в 22г водорода?

1.5. Сколько молекул газа находится в колбе объёмом 2 л? Дав­ление газа равно 0,66·10⁵ Па, его температура 17°С.

1.6. Удельный объём газа при нормальных физических условиях (р=760 мм рт. ст., t = 0°С) составляет σ=5,6 м³/кг. Определить молярную мас­су газа. Какой это газ?

1.7. Какое давление оказывает кислород на стенки сосуда объемом 200 л? Масса газа 0,02 кг температура 40°С.

1.8. При какой температуре кислород имеет плотность 1,2 кг/м³? Дав­ление газа 2·10⁵ Па.

1.9. Определить массу метана (СН₄), который содержится в баллоне объемом 15 л. Давление газа 10⁶ Па, температура 27°С, масса 1 кг.

1.10. Определить давление, оказываемое азотом на стенки сосуда объ­емом 1 м³. Температуре газа 27°С, его масса 1 кг.

1.11. Баллон ёмкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1·10⁶ Па и температуре 17°С. Какое количество азота находится в баллоне?

1.12. Температура воздуха в комнате равна 10°С. Объём комнаты 50 м³, давление воздуха 730 мм рт. ст. На сколько изменилась масса воздуха после того, как температура в комнате возросла до 20°С? Считать, что молярная масса воздуха равна 29г/моль.

1.13. 716 мг органического соединения с формулой (С₃Н₆О)_n превраща­ется при 200°С и давлении 750 мм рт. ст. в пар объемом 242,6см³. Найти чис­ло n.

1.14. Найти химическую формулу молекулы некоторого соединения уг­лерода с кислородом, если 1 г этого вещества в газообразном состоянии соз­даёт в сосуде объёмом 1 л давление 0,56·10⁵ Па. Температура газа 27°С.

1.15. Сколько электронов содержится в кислороде, который занимает при давлении 10⁶ Па и температуре 200°С объём 1 л?

1.16. В баллоне объемом 15л находится 96 г неизвестного газа. Давле­ние газа 10⁶ Па, его температура 300К. Определить химическую формулу га­за, если в состав молекулы газа входят атомы водорода и углерода.

1.17. Определить плотность паров ртути при 420°С и давлении 2,3 мм рт. ст. Молярная масса ртути 200 г/моль.

1.18. Определить подъёмную силу воздушного шара радиусом 6 м, за­полненного гелием. Давление гелия и окружающего воздуха равно 740 мм рт. ст., температура 17°С. Молярная масса гелия 4 г/моль, воздуха 29г/моль.

1.19. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри воздушного ша­ра, чтобы шар взлетел? Диаметр шара 10 м, масса его оболочки 10 кг. Атмо­сферное давление воздуха 735 мм рт. ст., температура 27 °С, молярная масса воздуха равна 29г/моль.

1.20. На дне цилиндра лежит полый стальной шарик радиусом 2 см и массой 5 г. До какого давления надо сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик поднялся? Температура воздуха 20°С. Считать, что для воздуха при больших давлениях справедливо уравнение состояния идеального газа.

1.21. В сосуд, на дне которого лежит твёрдый шар радиусом 5 см, нагне­тают воздух при температуре 27°С. Когда давление в сосуде становится рав­ным 2·10⁵ Па, шар поднимается. Определить массу шара. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль.

1.22. При нагревании на 1°С объём некоторой массы идеального газа увеличился на 1/335 начального объема. Определить начальную температуру, если давление газа было постоянным.

1.23. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар объемом 1 л, содержащий 17,5 г водяного пара, чтобы шар разорвался? Стенки шара вы­держивают давление не более 10⁷ Па.

1.24. Цилиндрическая трубка длиной 66см наполовину погружена в ртуть. Верхний конец трубки закрывают пальцем и вынимают трубку из рту­ти. Часть ртути при этом вытекает. Какой длины столбик ртути остался в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм рт. ст.

1.25. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7°С и давлении 700 мм рт. ст.

1.26. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути длиной 15 см. Когда закрытый конец трубки расположен сверху, длина столбика воздуха равна 30 см, когда трубка расположена так, что открытый конец наверху, длина столбика воздуха равна 20 см. Определить атмосферное давление.

1.27. Закрытый горизонтальный цилиндр разделён поршнем на две час­ти. В одной части находится 8г кислорода, а в другой – некоторое количество гелия. Определить массу гелия, если он занимает 0,67 часть объёма.

1.28. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра име­ется подвижный поршень, который скользит в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится 3 г водорода, а с другой – 17 г азота. Какую часть объёма занимает водород?

1.29. В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания 25 см находится газ, разделённый поршнем массой 1 кг на два равных отсека. Масса газа под поршнем в два раза больше массы газа над, поршнем. Найти давления газа в каждом отсеке. Тре­нием в системе пренебречь, температура в обеих частях сосуда постоянна.

1.30. При нагревании газа при постоянном объёме на 1°С его давление увеличилось на 0,2%. Определить начальную температуру газа.

1.31. В баллоне находится газ при атмосферном давлении 10⁵ Па и тем­пературе 10°С. При открытом вентиле баллон нагрели, а затем вентиль закрыли и баллон остудили до начальной температуры. Давление газа в балло­не после этого стало равно 0,7 атм. На сколько градусов нагрели баллон?

1.32. Сколько молекул воздуха вышло из комнаты объёмом 120 м при увеличении температуры от 15°С до 25°С? Атмосферное давление 750 мм рт. ст.

1.33. Из баллона объемом 10 л вследствие неисправности вентиля выте­кает водород. Начальная температура газа 7°С, давление 5·10⁶ Па. Через не­которое время при температуре 17°С манометр показал такое же давление. Насколько уменьшилась масса газа?

1.34. Определить молярную массу неизвестного газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 64 г кислорода и 8 г гелия.

1.35. Сухой воздух по массе состоит из азота (75,52%), кислорода (23,15%), аргона (1,28%) и углекислого газа (0,05%). Пренебрегая примеся­ми других газов, найти молярную массу сухого воздуха.

1.36. В сосуде объёмом 2 м³ при температуре 100°С и давлении 4·10⁵ Па находится смесь кислорода и 8кг сернистого газа (SO₂). Определить парциальные давления газов.

1.37. Плотность смеси азота и водорода при температуре 320 К и давле­нии 2·10⁵ Па равна 0,3 кг/м³. Найдите концентрацию молекул водорода в сме­си.

1.38. В закрытом сосуде емкостью 1 м³ находится 0,9 кг водяного пара и 1,6кг кислорода. Найти давление этой смеси на стенки сосуда при темпера­туре 600°С. Диссоциацией воды пренебречь,

1.39. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 20°С и давлении 10⁵ Па. Найти молярную массу смеси и объём сосуда.

1.40. Найти массу водяных паров в 1 м³ воздуха при 760 мм рт. ст. и тем­пературе 25°С. Относительная влажность воздуха 60%. Давление насыщаю­щего водяного пара при этой температуре равно 3167 Па.

1.41. В баллоне ёмкостью 2 м содержится смесь азота и окиси азота (NO). Определить массу окиси азота. Масса смеси равна 14 кг, температура 300 К, давление 0,6·10⁶ Па.

1.42. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м³. Какова концен­трация молекул азота в смеси, если концентрация молекул водорода в смеси равна 4,2·10¹⁹ см^-3?

1.43. Молярная масса смеси кислорода и 8 г гелия равна 18 г/моль. Оп­ределить массу кислорода в смеси.

1.44. В объёме 10 л содержится смесь 2 г водорода и 2 г кислорода. В ре­зультате реакции в баллоне образовалась вода. Определить парциальное давление водорода при 17°С,

1.45. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда азот полностью диссоциирован на атомы, давление стало равно Р (дис­социацией водорода пренебречь). При температуре 2Т, когда оба газа полно­стью диссоциированы, давление в сосуде 3Р. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?

1.46. При комнатной температуре жидкая четырёхокись азота частично диссоциирует в двуокись азота N₂O₄ => 2NO₂, которая превращается в газ. В сосуде объёмом 250 см находится 0,9 г N₂O₄ при 27°С и давлении 960 мм рт. ст. Сколько процентов четырёхокиси азота при этом диссоциировано?

1.47. Газ, имеющий молярную массу и, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две молекулы, массы которых одинаковы. Какова степень диссоциации газа (в процентах), если средняя молярная масса обра­зующейся смеси составляет 62,5% молярной массы исходного газа?

1.48. Найти массу воздуха в колодце площадью сечения 2 м² и глубиной 6 м. Температура воздуха изменяется по высоте по линейному закону от 7°С до 37°С. Молярная масса воздуха 29 г/моль. Атмосферное давление 100 кПа.

1.49. Воздух находится под давлением 0,1 МПа между двумя одинако­выми горизонтальными пластинами. Температура возрастает линейно от 17°С у нижней пластины до 117°С у верхней. Объём газа между пластинами 3 л. Найти массу воздуха между пластинами.

1.50. Газ, молярная масса которого μ, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две одинаковые молекулы. Степень диссоциации газа равна 60%. Определить молярную массу образующейся смеси.

1.51. Давление воздуха внутри бутылки при температуре 17°С равно 0,1 МПа. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылете­ла? Без нагревания пробку можно вытянуть, приложив силу силой 15 Н. Площадь поперечно­го сечения пробки 3 см².

1.52. Сколько качаний нужно сделать поршневым насосом рабочим объёмом 1 л, чтобы повысить давление от атмосферного 0,1 МПа до 0,3 МПа в со­суде объёмом 10 л?

1.53. За какое число качаний поршневым насосом рабочим с объёмом 1 л можно откачать сосуд объёмом 10 л от атмосферного давления 0,1 МПа до 50 кПа?

1.54. Объём идеального газа изменяется по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении температуры от 327°С до 27°С?

1.55. При расширении идеального газа давление изменяется в некото­ром процессе по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится объём га­за при увеличении температуры от 400 К до 625 К?

1.56. В некотором процессе давление газа изменяется по закону p=αV², где α > 0. Определить начальную температуру газа, если после уве­личения объёма в 1,2 раза температура газа оказалась равной 200°С.

1.57. Давление газа изменяется по закону , где α > 0. Во сколь­ко раз изменится температура газа при увеличении его объёма в 1,4 раза?

1.58. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, в котором температура изменяется по закону T=T₀+αV³, где Т₀=273 К, α=4·10⁹ К/м³, V - объём моля газа.

1.59. Найти максимальную возможную температуру идеального газа в процессе, при котором давление зависит от объёма по закону Р=Р₀ – αV³, где Р₀=0,1 МПа, α=2·10⁸ Па/м³, V - объём моля газа.

1.60. В левой части цилиндрического сосуда длиной 1 м, разделённого теплонепроницаемым поршнем, находится водород, а в правой — гелий. Объ­ём гелия в 3 раза больше объёма водорода. При нагревании гелия поршень сместился на 5 см. На сколько градусов изменилась температура гелия, если начальные температуры газов были одинаковы? Температура водорода поддерживается постоянной и равной 300 К.

II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

где m₀ – масса молекулы, < υ² > - средняя квадратичная скорость

поступательного движения молекулы, <ε_k> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, n – концентрация молекул, ρ – плотность.

2. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на

каждую степень свободы поступательного и вращательного движения

молекулы приходится средняя энергия .

3. Средняя энергия молекулы газа ,

где i – число степеней свободы молекулы.

4. Скорости молекул газа.

- среднеквадратичная скорость,

- средняя арифметическая скорость,

- наиболее вероятная скорость.

5. Функция распределения Максвелла

.

6. Распределение Больцмана

,

где E_П – потенциальная энергия молекулы

n – концентрация молекул, имеющих энергию E_П,

n₀ – концентрация молекул, имеющих энергию E_П=0.

Примеры решения задач.

Задача 1. При давлении P=0,1 МПа молекулы идеального газа с количеством степеней

свободы молекулы i=5 имеют среднюю энергию <ε>= Дж. Определить концентрацию молекул газа.

Дано: Решение

i=5 Воспользуемся основным уравнением

P= Па молекулярно-кинетической теории газов.

<ε>= Дж . (1)

n -? Так как средняя кинетическая энергия поступательного

движения молекулы , а средняя энергия

молекулы, включая кинетическую энергию вращательного движения,

,

то с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы

для <ε> получаем

. (2)

Использую (1) – (2), находим:

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

Ответ: .

Задача 2. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и тепловую скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность равна .

Дано: Решение

Для нахождения искомых скоростей воспользуемся

формулами их определений. При этом параметры

(температуру и массу молекулы, входящие в эти формулы) выразим из уравнения состояния идеального газа .

Таким образом, получаем:

- наиболее вероятная скорость;

- средняя арифметическая скорость;

- среднеквадратичная (тепловая) скорость.

Проверка размерности:

Вычисления:

;

;

.

Ответ: , , .

Задача 3. Найти наиболее вероятную скорость молекул газа, находящегося

в состоянии теплового равновесия, при котором скоростям молекул

и соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.

Дано: Решение

Распределение Максвелла с точностью до постоянного

множителя имеет вид:

.

Учитывая выражения для определения наиболее вероятной скорости ,

получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде:

.

Из условия задачи находим:

.

Для υ _B получим: .

Соответствие размерности очевидно.

Вычисления: .

Ответ: .

Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено,

что среднее число их в слоях, расстояние между которыми , отличается в раза. Температура . Диаметр частиц , а их плотность

на больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим

данным число Авогадро.

Дано: Решение

Распределение частиц, взвешенных в жидкости,

подчиняется закону Больцмана

_, (1)

Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых

изменений высоты можно считать однородным. Если

учесть, что частицы гуммигута испытывают действие

выталкивающей силы Архимеда , (2)

где V – объем частицы, то для потенциальной энергии частицы следует записать:

Число частиц на высоте h₁ равно ,

а на высоте h₂>h₁: .

Найдем отношение n₁/n₂: . (3)

Учитывая, что и , из (3) находим .

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и водорода при одинаковых температурах.

2.2. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 500 м/с при давление 4·10⁵ Па. Найти плотность газа.

2.3. Найти среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 2·10⁵ Пa равна 0,8 г/м².

2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинок, взвешен­ных в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха?

Масса пылинки 10^-8 г. Воздух считать однородным газом с молярной массой 29г/моль.

2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число молекул кисло-

рода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором — 500 м/с. Какой будет эта ско­рость, если открыть кран, соединяющий сосуды?

2.6. При какой температуре средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости на Земле?

2.7. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же сред­нюю квадратичную скорость, как и молекулы водорода при температуре 100 K?

2.8. Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлени­ем 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

2.9. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1,2·10 К. Опреде­лить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

2.10. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.

2.11. При 0°С вычислить среднюю квадратичную скорость теплового дви­жения молекулы: 1) водорода; 2) азота; 3) кислорода.

2.12. Найти средний квадратичный импульс молекулы водорода Н₂ при температу­ре 27°С.

2.13. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при темпера­туре 100°С?

2.14. На рис. 2.1 изображена молекула кислорода. Найти значение средней

квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при 27°С. Момент инерции молекулы кислорода относительно оси АА' равен 19,2·10^-40 г·см³

2.15. Найти кинетическую энергию теплового движения всех молекул ки­слорода, занимающих объем 5,5 л при давлении 2·10⁵ Па. Колебаниями атомов в молекулах пренебречь.

2.16. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость молекулы, если ее момент инерции 2,1·10^-39 г·см.

2.17. Считать, что воздух состоит из молекул азота, кислорода, во­дорода и углекислого газа. Молекулы какого из газов обладают наибольшей средней скоростью?

2.18. Сравнить средние квадратичные скорости молекул двух газов с па­раметрами: a) p₁= 600 кПа, р=1,2 кг/м³; б) Р₂=400 кПа, ρ₂=0,8 кг/м³.

2.19. При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия пре­одолели земное тяготение и навсегда покинули земную атмосферу?

2.20. Частицы гуммигута диаметром 10^-6 м участвуют в броуновском дви­жении. Плотность гуммигута 1.2·10³ кг·м³. Найти среднюю квадратичную скорость частиц при 17°С.

2.21. В момент взрыва атомной бомбы температура достигает 10⁷°С. Считать, что при этой температуре молекулы полностью диссоции­рованы на атомы, а атомы ионизированы. Найти при этих условиях среднюю квадратичную скорость иона водорода.

2.22. Пользуясь распределением Максвелла и понятием относительной скорости а как отношения скорости молекулы υ к наиболее вероятной ско­рости υ_в, получить распределение в приведенном виде:

2.23. Определить вероятность того, что какая-нибудь молекула кислорода при температуре 0°С имеет скорость, точно равную наиболее вероятной ско­рости.

2.24. Перейти от распределения Максвелла для молекул по интервалам скоро­стей к распределению молекул по интервалам энергий:

где ε — кинетическая энергия молекулы, υ_B - наиболее вероятная скорость.

2.25. Доказать, что максимум функции распределения молекул по интер­валам энергий:

соответствует скорости .

2.26. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной не более чем на 1%?

2.27. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от средней квадратичной скорости не более чем на 1%?

2.28. Какая часть молекул азота при нормальных условиях имеет скоро­сти, лежащие в интервале от 99 м/с до 101 м/с?

2.29. При какой температуре число молекул азота, обладающих скоростя­ми в интервале от 299 м/с до 301 м/с, равно числу молекул, обладающих ско­ростями в интервале от 599 м/с до 601 м/с?

2.30. Сколько процентов молекул азота при температуре 280 К обладает скоростями в интервале от 500 м/с до 510 м/с?

2.31. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температуре 0°С.

2.32. Водород находится при температуре 273 К. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2000 м/с до 2001 м/с, к числу молекул, обладающих скоростями от 1000 м/с до 1001 м/с.

2.33. Определить температуру при которой функция распределения мо­лекул кислорода по скоростям имеет максимум при скорости 500 м/с.

2.34. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 10 м/с, при тем­пературе 300°С?

2.35. Найти температуру кислорода, при которой скоростям молекул 400 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределе­ния Максвелла.

2.36. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать одинаковой и равной 273 К.

2.37. Определить показания барометра на высоте Останкинской телевизи­онной башни равной 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 280 К.

2.38. При подъеме аэростата барометр изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте находится аэростат, если на поверхности Земли барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 290 К.

2.39. Чему равна концентрация молекул воздуха на высоте 2км над уров­нем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а температура 10°С. Изменени­ем температуры с высотой пренебречь.

2.40. Пылинки массой 10^-10 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температуру воздуха во всем объеме считать равной 27°С.

2.41. У поверхности Земли концентрация молекул водорода почти в 10⁶ раз меньше, чем концентрация молекул азота. На какой высоте при 0°С кон­центрация молекул водорода и молекул азота будут равны?

2.42. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обна­ружено, что их среднее число в слоях, расстояние между которыми 40 мкм, отличается друг от друга в 2 раза. Диаметр частиц 0,4 мкм, а их плотность на 0,20 г/см больше плотности окружающей жидкости. Температура среды 290 К. Определить по этим данным число Авогадро.

2.43. Найти массу водяного пара, заключенного в столбе атмосферного воздуха сечением 1,0 м² и высотой 4,15 км. Температура воздуха во всех сло­ях постоянна и равна 15°С. Парциальное давление паров воды на поверх­ности Земли 10³ Па.

2.44. Толщина слоя воздуха, в пределах которого концентрация взвешен­ных в воздухе пылинок различается не более чем на 1%, равна 4,2 мм. Опре­делить массу пылинки. Температуру воздуха считать одинаковой и равной 300 К.

2.45. На высоте 123 км от поверхности Земли концентрация молекул водо­рода и азота равны. Вычислить отношение концентрации молекул водорода и азота у поверхности Земли.

2.46. При наблюдении в микроскоп взвешенных в воде частиц гуммигута оказалось, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми 40 мкм, отличается друг от друга в 2 раза. Плотность гуммигута 1,2 г/см³. Тем­пература среды 290 К. Определить диаметр частиц.

III. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

1. Первое начало термодинамики:

,

где - количество теплоты, сообщенное термодинамической системе,

- изменение внутренней энергии термодинамической системы,

- работа, совершенная термодинамической системой.

2. Работа газа

,

где V₁ и V₂ – объемы начального и конечного состояния газа.

3. Внутренняя энергия идеального газа

,

где - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

4. Количество теплоты

,

где T₁ и T₂ – температура начального и конечного состояния газа,

v – количество молей газа, - молярная теплоемкость газа в процессе.

5. Теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и давлении:

, , .

6. Уравнение адиабатного (происходящего без теплообмена) процесса

,

где - коэффициент Пуассона.

7. Уравнение политропного (происходящего при постоянной теплоемкости) процесса

,

где n – показатель политропы.

Примеры решения задач.

Задача1. Газообразный водород, находившийся при нормальных физических условиях в закрытом сосуде объемом V=5,0 л, охладили на . Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

Дано: Решение

Из первого начала термодинамики (1)

Для изохорного процесса ,

так как работа газа А=0.

Учитывая, что , а , как следствие из уравнения состояния идеального газа, окончательно получим

. (2)

Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i = 5.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. Три моля идеального газа при температуре изотермически

расширили в 4 раза, а затем изохорно нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла .

Определить коэффициент Пуассона для этого газа.

Дано: Решение

В процессе изотермического расширение газа из

состояния в состояние к газу

подводится тепло .

В процессе изохорного нагрева к газу подводится

количество теплоты

Для нахождения T₃ воспользуемся уравнениями

изохорного и изотермического процессов:

, .

Для T₃ получим .

Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы

газа соотношением .

Из полученного выражения следует, что .

Для окончательно получаем

.

При переходе газа из состояния I в состояние III затрачивается

количество теплоты

. (1)

Из (1) выразим коэффициент Пуассона

.

Убедимся, что соотношение является безразмерной величиной:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 3. Объем одного моля идеального газа с коэффициентом Пуассона

изменяют по закону VT = a, где а – положительная константа. Найти количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура возросла на .

Дано: Решение

В процессе изменяются все макроскопические параметры

состояния идеального газа P, V и T. Малое изменение

количества теплоты согласно первому началу термодинамики

, (1)

где .

Выразим уравнение процесса в параметрах P и V. Для этого воспользуемся уравнением состояния газа и условием задачи:

.

Исключая температуру, получим:

(2)

Подставляя (2) в (1), приходим к выражению

. (3)

Интегрируя (3), получаем

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 0,25кДж.

Задача 4. Найти молярную теплоемкость идеального газа в политропном процессе , если n = 3, а показатель адиабаты для этого газа .

Дано: Решение

Воспользуемся первым началом термодинамики в

дифференциальной форме

, (1)

где , , . (2)

Подставим (2) в (1), учитывая, что , где :

. (3)

В полученном выражении определим производную . Для этого воспользуемся уравнениями политропического процесса и состояния идеального газа, и выразим уравнение процесса в параметрах V и T:

. (4)

Дифференцируя (4), получаем и подставим в (3):

.

Проверка размерности:

.

Предельные случаи: 1) при n = 0 получаем P = const, т.е. теплоемкость дли изобарного процесса C_μn = C_μp;

2) при n = γ получаем S = const, т.е. теплоемкость адиабатного процесса C_μn = 0.

Вычисления: .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

3.1. Для газообразного ацетона (СН₃СОСНз) определить коэффициент Пуассона.

3.2. Определить удельные теплоемкости двухатомного газа, если плат­ность его при нормальных условиях 1,43·10^-3 г/см³.

3.3. Вычислить удельные теплоемкости смеси 2 молей азота и 5 молей гелия.

3.4. Молярная масса газа равна 18 г/моль. Коэффициент Пуассона равен 1,33. Вычислить удельные теплоемкости этого газа.

3.5. Какой из указанных газов при комнатной температуре имеет наи­большую удельную теплоемкость: 1) О₂; 2) H₂; 3) Не; 4) Ne; 5) I₂?

3.6. Найти молярные теплоемкости смеси 0,5 молей паров воды и 0,2 моля азота.

3.7. Приняв массу атома гелия равной 6,6·10^-27 кг, определить удельную теплоемкость гелия при постоянном объеме.

3.8. Удельная теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме равна 1,2·10³ Дж/кг·К. Определить относительную влажность воздуха. Мо­лярная масса сухого воздуха 29 г/моль. Температура 300 К.

3.9. Вычислить коэффициент Пуассона газовой смеси, состоящей из 3,0 молей гелия и 2,0 молей водорода.

3.10. Молярная масса газа равна 32 г/моль. Определить удельные теплоем­кости газа при постоянном объеме и постоянном давлении, если коэффици­ент Пуассона для газа равен 1,4.

3.11. Чему равны удельные теплоемкости газа, плотность которого при нормальных условиях равна 1,76·10^-3 г/см³?

3.12. Вычислить удельные теплоемкости для углекислого газа.

3.13. Вычислить коэффициент Пуассона для смеси, состоящей из 2,0 мо­лей кислорода и 3,0 молей углекислого газа.

3.14. Вычислить удельные теплоемкости C_v и С_р для смеси, состоящей из 7 г азота и 20 г аргона.

3.15. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении С_р=970 Дж/кг·К, а молярная масса равна 30 г/моль. Определить число степе­ней свободы молекулы этого газа.

3.16. Определите молярную массу газа, если разность между удельными теплоемкостями С_р-C_v =260 Дж/кг·К.

3.17. Определить удельные теплоемкости C_v и С_р, если для газа коэффи­циент Пуассона равен 1,4, а плотность при нормальных условиях 1,25 кг/м³.

3.18. Отношение удельных теплоемкостей смеси, состоящей из азота и 5 молей аммиака, равно 1,35. Определить число молей азота в смеси.

3.19. Определить удельные теплоемкости смеси, состоящей из 1 моля азо­та, 4 молей метана и 8 г аргона.

3.20. Воздух содержит 25% водяного пара. Определить удельную тепло­емкость при постоянном объеме влажного воздуха. Для сухого воздуха

молярную массу принять равной 29 г/моль.

3.21. Найти удельные теплоемкости воздуха, считая, что в его состав вхо­дит 76% азота, 23% кислорода, 1% аргона.

3.22. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа на 25 К при постоянном давлении, равно 500 Дж. Количество теплоты, выделяемое этим газом при охлаждении на 75 К при постоянном объеме, равно 1,07 кДж. Опре­делить коэффициент Пуассона.

3.23. При изотермическом сжатии 14 г азота, взятого при 20°С, была со­вершена работа 2200 Дж. Во сколько раз возросло давление газа?

3.24. В закрытом сосуде находится 14 г азота при давлении 10⁵ Па и темпе­ратуре 27°С. После нагревания давление повысилось до 5·10⁵ Па. Какое ко­личество теплоты сообщено газу? Определить приращение внутренней энергии.

3.25. Из баллона, содержащего водород под давлением 10⁶ Па и при тем­пературе 18°С, выпустили половину находящегося в нем газа. Считая про­цесс адиабатным, определить конечную температуру и давление.

3.26. При изобарном расширении водород совершил работу 4000 Дж. Ка­кое количество теплоты подведено к газу? Определить приращение его внутренней энергии.

3.27. В адиабатном процессе внутренняя энергии кислорода уменьшилась на 2000 Дж. Найти работу, совершенную газом и массу газа. Начальная температура газа 47°С, его объем увеличился в 10 раз.

3.28. Углекислый газ массой 3,2 кг имеет температуру -17°С. Объем газа изотермически уменьшают в 3 раза. Какую работу совершил газ? Как изме­нилась внутренняя энергия газа? Какое количество теплоты выделилось?

3.29. При изобарном расширении 2 кг кислорода совершена работа 98 Дж. Определить приращение внутренней энергии газа. Какое количество тепло­ты получил газ? До какой температуры нагрели газ? Начальная температура 0°С.

3.30. Какое количество теплоты надо сообщить кислороду, находящемуся в сосуде объемом 30 л при температуре 27°С и давлении 400 мм рт. ст., чтобы нагреть газ на 120°С? Определить приращение внутренней энергии газа и совершенную газом работу.

3.31. Водяной пар при изобарном расширении совершил работу, равную 2100 Дж. Какое количество теплоты подвели к пару? Как изменилась его внутренняя энергии?

3.32. При нормальных условиях 1 моль азота расширяется адиабатно до V₂= 7V₁.Вычислить работу газа.

3.33. При адиабатном сжатии 10 г водорода температура повысилась на 100°С. Определить работу, затраченную на сжатие.

3.34. Водород под давлением 10⁵ Па занимает объем 5 л. Газ адиабатно сжали до объема в 1 л. Вычислить работу, совершенную в этом процессе.

3.35. Водород массой 4 г нагрет при постоянном давлении на 50°С. Определить количество теплоты, переданное газу, приращение его внутренней энергии и работу, совершенную газом.

3.36. При изобарном расширении двухатомный газ совершил работу 2·10 Дж. Какое количество теплоты подвели к газу?

3.37. Кислород массой 4 г находится при нормальных условиях. При изо­термическом расширении объем газа увеличился до 12 л. Вычислить работу, совершенную газом, и сообщенное ему количество теплоты.

3.38. При изобарном расширении внутренняя энергия трехатомного газа увеличилась на 1000 Дж. Какую работу совершил газ? Какое количество теп­лоты сообщили газу?

3.39. При изохорном охлаждении киломоля трехатомного газа давление уменьшается в 3 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Изобразить процесс на диаграмме Р, V. Вычислить Q, ΔU и А. Температура газа равна 27°С.

3.40. Двухатомный газ расширяется изобарно. Какая часть теплоты расхо­дуется на увеличение его внутренней энергии, а какая на совершенную им работу?

3.41. Баллон, содержащий 20 г водорода и 1 г гелия, нагрели на 50°С. Определить приращение внутренней энергии смеси и сообщенное количество теплоты.

3.42. Газ, расширяясь, переходит из одного и того же состояния от объема V₁ до объема V_2: а) изобарно; б) адиабатно; в) изотермически. В каких про­цессах газ совершает наименьшую и наибольшую работу?

3.43. Один моль идеального газа находился при нормальных условиях. При изотермическом расширении газу подвели 2,27 кДж теплоты. Какую ра­боту совершит этот газ, расширяясь изобарно до того же объема, что и в первом случае?

3.44. Моль идеального газа изотермически сжимают до объема в 2,7 раза меньше начального и отводят от газа 2,24 кДж количества теплоты. Какую работу необходимо совершить, чтобы изобарно газ вернуть в состояние с объемом, равным начальному?

3.45. Идеальный газ, расширяясь один раз изобарно, другой раз изотерми­чески из одного и того же состояния, увеличивает объем в 5 раз. Определить отношение работ газа изобарного и изотермического расширения.

3.46. Кислород, расширяясь один раз изотермически, другой раз адиабат­но из о

Дата добавления: 2015-08-29