Самостоятельная работа № 4
Выполнение практических работ по теме «Ряды».
Цель занятия: изучить методы определения сходимости ряда
Теоретическая часть:
Сумма членов бесконечной числовой последовательности 
называется числовым рядом. 
. При этом числа 
будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Суммы 
, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда. Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов:
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда 
и 
, где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и 
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд 
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
Пример № 1.
Дан общий член последовательности 
. Найдите первый, второй и седьмой член последовательности.
; 
; 
Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность 
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство 
.
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд 
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример № 2. Исследовать сходимость ряда 
Найдем 
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 
при любом n.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Пример № 3. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к. 
, а гармонический ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.
Пример № 4. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к. 
, а ряд 
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.
Предельный признак Даламбера.
Если существует предел 
, то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример № 5. Определить сходимость ряда 
.
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши.
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство: 
,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство: 
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел 
, то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример № 6. Определить сходимость ряда 
.
Вывод: ряд сходится.
Контрольные вопросы:
Практическая часть:
Найдите первых пять членов последовательности по известному общему: | |
|
|
|
|
|
|
Определить сходимость ряда: | |
|
|
Литература:
Самостоятельная работа № 5
Домашняя практическая проверка по теме «Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами».
Цель занятия: изучить основные понятия теории множеств
Теоретическая часть:
Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись 
означает, что элемент а принадлежит множеству R, то есть а является элементом множества R. В противном случае, когда а не принадлежит множеству R, пишут 
.
Множества можно изображать с помощью кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Венна, универсальное множество принято обозначать прямоугольником.
Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.
Говорят, что множество А содержится в множестве В (рис.1) или множество А является подмножеством множества В (в этом случае пишут А 
В), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В. Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: 
А и А А.
Сумма (объединение) множеств А и В (пишется А 
В) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В. Таким образом, е 
А В тогда и только тогда, когда либо е А, либо е В.
Произведение (пересечение) множеств А и В (пишется А 
В, рис.2) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А, и В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В.
Разность множеств А и В (пишется А – В, рис.3) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.
Симметричная разность множеств А и В (пишется А \ В) есть множество:
А \ В = (А – В) (В – А).
Пример № 1. Множество детей является подмножеством всего населения.
Пример № 2. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
Пример № 3. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Пример № 4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
Способы задания множеств:
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:
1) Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках.
Пример № 5. A = {Оля, Маша, Саша}
2) Характеристическим предикатом, который описывает свойство всех элементов, входящих во множество. Характеристический предикат записывается после двоеточия или символа «|».
Пример № 6. Р(x) = x 
N 
x < 8 - характеристический предикат.
M = {x: Р(x)} или M = {x: x N x < 8}.
Множество M можно задать и перечислением его элементов:
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Пример № 7. В = {x | x - четное натуральное число} = {2, 4, 6, 8, …}
Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение понятию «множества»
Какие способы существуют для задания множеств?
Какие операции можно провести над множествами?
Практическая часть:
Укажите множество действительных чисел, соответствующее записи: | |
|
|
|
|
|
|
Из курса школы известны следующие числовые множества: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных (вещественных) чисел; I – множество иррациональных чисел. Приведите примеры этих множеств. |
Литература:
Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.
Самостоятельная работа № 6
Домашняя практическая проверка по теме «Основные понятия теории графов».
Цель занятия: изучить основные понятия теории графов
Теоретическая часть:
Впервые понятие граф ввел в 1936 году венгерский математик Денни Кениг. Но первая работа принадлежала перу великого Леонарда Эйлера и была написана еще в 1736 году. С помощью графов изображаются схемы различных дорог, линии воздушных сообщений, газопроводов, теплотрасс, электросетей, а также микросхемы и т.д. Применяются графы для решения задач химии, экономики, электротехники.
Графом G=(V,X) называется пара двух конечных множеств: множество точек и линий, соединяющих некоторые пары точек.
Вершины (узлы) – это точки графа.
Ребра – это линии графа.
Инцидентное ребро – это ребро, соединяющее вершины графа.
Смежные вершины графа – это вершины, которые соединяет инцидентное им ребро.
Смежные ребра – ребра, имеющие общую вершину.
Петля – это ребро, у которого начало и конец совпадают.
Кратные ребра – это ребра с одинаковыми парами вида X(V,W).
Степень вершины - это число ребер, инцидентных выбранной вершине и обозначается deg (A).
Теорема: В графе G=(V,X) сумма степеней всех его вершин – число четное, равное удвоенному числу ребер графа.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение понятию «граф»
Как подсчитать степень вершины графа?
Практическая часть:
1. Нарисуйте граф со смежными вершинами, ребрами, петлей. Подчитайте сумму степеней всех его вершин. |
2. Нарисуйте граф, связанный с вашей профессией. |
3. Постройте граф с кратными ребрами |
4. Постройте граф и определите степени его вершин |
5. Постройте граф и определите суммы степеней его вершин |
6. Постройте граф и определите длину маршрута |
7. Постройте граф, содержащий цикл длиной 8 |
Литература:
Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.
Самостоятельная работа № 7
Выполнение практических работ по теме «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей».
Цель занятия: научиться решать задачи по теории вероятности с использованием теоремы сложения и умножения
Теоретическая часть:
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.
В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.
Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).
Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.
Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
Вероятность события А равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных из несовместных случаев: P(A)= 
.
Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 
Пример № 1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.
Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.
Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: 
Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P(A) + P(B)
Условной вероятностью P(A/B) события A относительно события B, так если вероятность события B не равна нулю, называется отношение вероятности произведения событий A и B к вероятности события B: 
Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них умноженной на условную вероятность другого: 
Пример № 2. В коробке 12 шаров, из них 5 белых и 7 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение:
A – событие, состоящее в том, что первый шар белый
B- второй шар белый
Вычислим: P(A)= 
Вычислим P(B/A). Найдем вероятность того, что второй шар будет белый при условии, что первый шар белый. P(B/A)= 
Таким образом, 
Контрольные вопросы:
Дайте определение понятию событие
Дайте определение несовместных событий
Какое событие называется достоверным?
Сформулируйте определение вероятности события
В каких критериях заключена вероятность события?
Практическая часть:
1. Вероятность получения выпускником одного места работы равна 0,3, вероятность получения другого места работы равна 0,1. Какова вероятность получения хотя бы одного места работы? Решение: 0,1+0,3=0,4
2. Из трех маршрутов трамваев № 8, № 10 и № 15 для служащего попутными являются маршруты № 8 и №10. Вычислите вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай попутного для него номера, если по линиям маршрутов № 8, № 10 и № 15 курсируют соответственно 7, 9 и 12 вагонов. Протяженность маршрутов считается одинаковой. Решение: n=28, m1=7, m2=9, теорема умножения
3. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа в первой корпорации равна 0,45, а у второй равна 0,9. Какова вероятность, что фирма получит оба заказа? Теор. умн.
4. В коробке 24 шара, из них 10 белых и 14 черных. Из коробки вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
5. У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероятность, что выбранные арбузы спелые?
Дополнительное задание:
1. В урне – 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску, 7 - в клетку. Найти вероятность того, что извлечён одноцветный шар
2. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш 20 р., на 10 - 15 р., на 25 – 2, а на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10 р.
3. В коробке 250 лап, из них 100 по 100 Вт, 50 – 60 Вт, 50 – 15 Вт. Вычислите вероятность того, что мощность каждой лампочки не превысит 60 Вт.
4. В корзине 5 белых. 7 чёрных перчаток. Найдите вероятность того, что наугад взятая пара окажется однотонной.
5. В группе 5 человек учится на «5», 7 человек на «4» и «5», 15 человек имеют «3» и 3 ученика – «2». Определите вероятность того, что вызванный студент не имеет ни «2», ни «3».
6. У продавца имеется 10 красных, 8 синих, 5 зелёных, и 15 жёлтых шаров. Вычислите вероятность того, что купленный шар окажется красным, синим, зелёным?
7. На карточках написали натуральные числа от 1 до 10, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли 1 карточку. Какова вероятность того, что на ней будет написано простое число или число больше 7.
Литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. М.: Высшее образование, 2006 г.
2. Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.
Самостоятельная работа № 8
Выполнение практических работ по теме «Случайная величина, ее функция распределения».
Цель занятия: научиться решать задачи по теории вероятности
Теоретическая часть:
Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений. В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Пример № 1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.
Пример № 2. Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.
Пример № 3. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Пример № 4. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4). Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной. Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.
Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:
Х | х1 | х2 | … | хn | … |
Р | р1 | р2 | … | рn | … |
Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, …, n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1. Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.
Функция распределения вероятностей:
Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X<x). Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функции распределения есть неубывающая функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а ;F(x) = 1 при х ≥ b.
Контрольные вопросы:
Дайте определение понятию событие
Дайте определение несовместных событий
Какое событие называется достоверным?
Сформулируйте определение вероятности события
В каких критериях заключена вероятность события?
Дайте определение понятию функция распределения случайной величины
Практическая часть:
1. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:
X | |||
P | 0,3 | 0,1 | 0,6 |
Найти функцию распределения и вычертить ее график.
2. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале от (0,1).
3. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале от (0,1).
Литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. М.: Высшее образование, 2006 г.
Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.
Самостоятельная работа № 9
Выполнение практических работ по теме «Численное дифференцирование».
Цель занятия: познакомиться с нахождением производных функций методом численного дифференцирования.
Теоретическая часть:
При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f (x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f (x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.
Вычисление производной с помощью конечных разностей.
Пример № 1. Постройте конечные разности для функции:
y=x3, 
x=1
Решение:
y=(x+1)3-x3=3x2+3x+1
=3x2
2y=3(x+1)2-3x2=3x2+6x+3-3x2=6x+3
=6x
3y=6(x+1)-6x=6x+6-6x=6
=6
4y=0
Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона
Пример № 2. Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
Заполните 4 столбик с помощью формул:
= 
- 
; 
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
-
Заполните 5 столбик с помощью формул:
= - ; 
= - ; 
= -
Заполните 6 столбик с помощью формул:
= - ; 
= -
Заполните 7 столбик с помощью формулы:
Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа.
Пример № 3. Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки:
(1, 2), (2,3), (3,4), (4,5).
Обратите внимание:
Убирая одну координату x в числителе, вы учитываете ее в знаменателе, а дробь умножаете на y стоящий в одной скобке с этим x (выделено для первой дроби жирным шрифтом).
Сделав алгебраические преобразования, вы получите многочлен Лагранжа.
Контрольные вопросы:
1. Напишите формулы производных основных элементарных функций
Практическая часть:
Постройте конечные разности для функции y = x4 при |
Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях: x0= 0, x1= 1, x2= 2, x3= -1, x4= 2 y0= 0, y1= 5, y2= 7, y3= -2, y4= -4 |
Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки: (1,2), (2,1), (3,1), (3,2). |
Дополнительное задание: |
Постройте конечные разности для функции y = x4 при |
Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях: x0= 1, x1= 2, x2= 3, x3= -1, x4= -2 y0= 5, y1= 5, y2= 7, y3= -2, y4= 4 |
Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки: (1,2), (2,3), (-3,4), (4,5). |
Литература:
1. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Самостоятельная работа № 10
Домашняя практическая проверка «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений».
Цель занятия: продолжить изучение нахождения значения функций с использованием метода Эйлера.
Теоретическая часть:
Основные правила дифференцирования:
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v
3) 
, если v ¹ 0
Производные основных элементарных функций.
1)С¢ = 0; 9) 
2)(xm)¢ = mxm-1; 10) 
3) 
11) 
4) 
12) 
5) 
13) 
6) 
14) 
7) 
15) 
8) 
16) 
17) (lnïxï)¢= 
,
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
где u, v, w – некоторые функции от х.
5. 
«Табличные» интегралы:
Интеграл | Значение | |
| -ln½cosx½+C | |
| ln½sinx½+ C | |
|
| |
|
| |
|
| |
| ln | |
|
| |
|
| |
| ex + C | |
| sinx + C | |
| -cosx + C | |
| tgx + C | |
| -ctgx + C | |
| arcsin | |
|
| |
|
|
Контрольные вопросы:
Напишите формулы «табличных» интегралов
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла
Практическая часть:
Вычислите интеграл:
|
|
|
|
Решите уравнение: | |
|
Литература:
1. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 21 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Самостоятельная работа № 1 | | | Медицинский листок парашютиста. |
=3
+ C
