Самостоятельная работа № 1

Самостоятельная работа № 1

Выполнение практических работ по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Цель занятия: закрепить навыки нахождения предела последовательности, функции и производной функции, неопределенного интеграла с помощью формул интегрирования и свойств неопределенного и определенного интеграла.

Теоретическая часть:

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность. Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример № 1. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается: lim x_n = a. В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Основные теоремы о пределах:

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Неопределенности:

При избавлении от неопределенности вида необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на n в старшей степени.

Пример № 2

Вычислите предел:

При избавлении от неопределенности вида необходимо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить общие множители.

Пример № 3.

Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Основные правила дифференцирования:

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

17) (lnïxï)¢= ,

Пример №4. Найти производную функции

.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример № 5. Найти производную функции

Пример № 6. Найдите частные производные от функции:

Пример № 7. Найдите частные производные от функции:

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

Пример № 1. Вычислите интеграл:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение
		ln½cosx½+C
		ln½sinx½+ C
		ln
		e^x + C
		sinx + C
		-cosx + C
		tgx + C
		-ctgx + C
		arcsin + C

1. Непосредственное интегрирование:

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Пример № 2: Найдите неопределенный интеграл: .

Получим:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало.

2. Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример № 3. Найти неопределенный интеграл

.

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример № 4. Найти неопределенный интеграл

Замена

Получаем:

3. Метод интегрирования по частям:

;

Пример № 5. Найти неопределенный интеграл

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_i b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, …,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, …, x_n-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение:

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1.

2.

3.

4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Теорема Ньютона – Лейбница

Если функция F(x) – какая - либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение понятию «предел последовательности»
2. Дайте определение понятию «предел функции»
3. Дайте определение понятию «производная функции»
4. Дайте определение первообразной функции
5. Что называется неопределенным интегралом?
6. Что называется определенным интегралом?

Практическая часть:

Вычислите предел функции:
(5+ )	(45+3 )
Найдите производную функции:
f(x) = x + 3x	f(x) = (2x – 2) (1 - x )
f(x) = x (4x + 2x -x )	f(x) = 5
f(x) = (2x - 2x)	f(x) =
f(x) = x + - 4	f(x) = (8x - 12x)
f(x) = (x – 2) (3 - 9x )	f(x) = 11x + -
f(x) = (x – 8)	f(x) = (x + 5) + sin x
f(x) = + cos 2x sin x	f(x) = sin 5x sin 3x +2x
f(x) = sin - 3	f(x) = x sinx
f(x) = x + tg (-2x)	f(x)
Вычислите интегралы:

Литература:

1. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.
3. Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.

Самостоятельная работа № 2

Выполнение практических работ по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Цель занятия: продолжить изучение методов решения дифференциальных уравнений

Теоретическая часть:

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

Пример № 1: рассмотрим простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле: . В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. т.е.

Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример № 2.

- обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. В общем виде записывается . - обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. В общем виде записывается . - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения:

- постоянная С – произвольная величина, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений;

- при каких - либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка).

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

; ; .

Теперь интегрируем: ; ; ; ; .

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде: .

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям:

получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Пример № 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение:

; ;

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:

; - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

; .

Пример № 5. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

Решение:

; ; ; ; ; при у(2) = 1 получаем

Итого: или - частное решение.

Проверка: , итого

.

Пример № 5. Решить уравнение

; ; ; ; - общий интеграл; - общее решение.

Пример № 6. Решить уравнение

Пример № 7. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

;

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям:

; если у(1) = 0, то итого, частный интеграл: .

Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример № 8. Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной третьего порядка.

Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем: . Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента ,т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: .

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример № 8. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида: .

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

;

Общее решение:

Контрольные вопросы:

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Практическая часть:

Решите уравнения:
	.

Литература:

Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.

Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.

Самостоятельная работа № 3

Домашняя практическая проверка «Дифференциальные уравнения в частных производных»

Цель занятия: освоить методы решения дифференциальных уравнений

Теоретическая часть:

Дифференциальным уравнением в частных производныхназывается уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Порядкомдифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решениемуравнения будет некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции можно в общем виде записать как

Линейноеуравнение в частных производных имеет вид:

где X_i – некоторые заданные функции.

Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.

Рассмотрим систему уравнений:

или - такая система называется нормальной.

Общее решение этой системы имеет вид:

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

Каждая из функций j является интегралом системы.

Теорема. Если - интеграл системы, то функция - решение уравнения.

Контрольные вопросы:

Что называется дифференциальным уравнением в частных производных?

Что называется порядком дифференциального уравнения в частных производных?

Практическая часть:

Решите уравнения:

Литература:

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. для вузов – М.: высш.шк., 2006 г.

Ларин А.А. «Курс высшей математики», 2010 г.

Дата добавления: 2015-08-29