. (2.13)
Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что они принципиально не отличаются и последнее уравнение практически является частным случаем (2.12), поэтому дальнейшее рассмотрение будем проводить на примере выражения (2.12). Линеаризация этого уравнения возможна, как это будет показано в дальнейшем, если в его левой части при приведении к общему знаменателю будут отсутствовать члены, содержащие аргумент р. Это возможно при F= 0 в следующих случаях
D(p)=K1
W2(p)=K2 (2.14)
P(p)=K2
W1(p)=K1 (2.15)
D(p)=K1
P(p)=KM(p) (2.16)
P(p)=K2
Q(p)=KD(p) (2.17)
где К - коэффициент,
D(p)=K1 (2.18)
P(p)=K2
(2.19)
где M1(p), Q1(p) - степенные многочлены аргумента р.
Во всех указанных случаях линеаризация (2.12) проводится одним и тем же образом рассмотрим это, например, при выполнении (2.16), с учётом которого уравнение (2.12) принимает
(2.20)
Принимая
Q(p) = aspS+aS-1(pS-1+... + a1p +a0, (2.21)
гдеas…a0 - коэффициенты многочленаQ(p) степени S получаем
или
. (2.22)
Запишем далее
(R2)'=2RR
(R2)''=2RR''+2(R')2
(R2)'''=2RR'''+6R'R'''
(2.23)
Считая, что значение производных поR меньше самого радиуса, можно пренебречь в(2.23) вследствие малости слагаемыми, содержащими произведения производных. Подставляя при этом из (2.23) в (2.22) RR(S+1), RRs,…, RR' получим
(2.24)
Обозначив в этом выражении R2=y, запишем уравнение
(2.25)
которое относительно y является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
В случаеF=const≠0 линеаризация (2.12) проводится при выполнении (2.14) – (2.16), (2.18) аналогичным рассмотренному выше образом. Так, с учётом (2.16) уравнение (2.12) принимает вид
(2.26)
Приняв
P(p)=bnpn+bn-1pn-1+…+b1p+b0, (2.27)
где bn…b0 - коэффициенты многочлена P(p) степени n и с учётом (2.21) получим
(2.28)
Откуда находим
(2.29) Подставляя в последнее выражение из (2.23) R R(s+1), RRs, пренебрегая, как и ранее, слагаемыми, содержащими произведения производных, выполнив замену R2 = y и, приняв, что S > n, запишем
(2.30)
где СS... С0 - коэффициенты многочлена степени S, образованные коэффициентами а3... a0,bn…b0, KR,F.
Уравнение (2.30) также является линейным дифференциальным уравнением.
Необходимо отметить, что при выполнении других соответствующих условий, линеаризация дифференциальных уравнений систем ССР с ДЗ происходит описанным выше образом и они принимают вид, аналогичный (2.25), (2.30).
В том случае, когда механизм поперечного перемещения суппорта станка имеет автономный электропривод с передаточ ной функцией Wn(p)=N(p)/ Ψ(p), где N(р),Ψ(p) - степенные многочлены аргумента р и с учётом того, что
, (2.31)
можно записать, например, для ПДС или АППР системы ССР в соответствии с (1.70) следующее выражение
(2.32)
Это уравнение также возможно линеаризовать, если при приведении к общему знаменателю в его левой части будут отсутствовать члены, содержащие аргумент р.
Однако, как правило, нет необходимости в учёте переходной функции Wn(р) привода поперечной подачи, поскольку в сиcтемах ССР её постоянные времени много меньше постоянных времени передаточных функций главного привода и функции WR(p), поэтому функция Wn(p) не оказывает существенного влияния на процессы в системах ССР.
2.3. Динамические процессы в системах
и методы их исследования
Процесс токарной обработки состоит из отдельных операций, которые подразделяются во времени на два этапа, на первом из них – пусковом при отведённом от детали резце, т.е. без усилия резания (F=0) происходит установка режимов работы станка, заданных по технологии. Второй этап токарной обработки начинается с момента врезания резца в заготовку и продолжается до конца операции, когда будет отработано заданное перемещение.
Таким образом, динамические процессы в системах ССР подразделяются на процессы в пусковом режиме, когда система движется под действием изменившегося задания на скорость резания V3 от одного установившегося значения скорости резания до другого при (F=0) и на процессы, обусловленные появлением усилия резания в момент врезания резца в заготовку. В пусковом режиме наиболее критичным является случай движения системы до установившегося значения скорости резания из состояния покоя, который в дальнейшем и будет рассматриваться.
Для исследования процессов, происходящих в системах ССР, содержащих ДЗ, было предложено использовать их линеаризованные уравнения (см. § 2.2), а также показано (см. § 2.1), что наиболее приемлемым из известных методов анализа систем ССР является метод замороженных коэффициентов. Проведём с их помощью исследование динамических процессов в системах ССР, считая, что переходные процессы, полученные с помощью решения исходных нелинейных уравнений систем ССР численным методом Рунге-Кутта на цифровых вычислительных машинах (ЦВМ), дают точные результаты [66].
Исследование систем ССР будем проводить, как и ранее, при передаточных функциях W1(p), W2(p) описывающихся (1.28), (1.29), которые при этом попадают под допущение (2.16), позволяющее производить линеаризацию дифференциальных уравнений соответствующих систем ССР.
В этом случае для ПДС (АППР) системы ССР в пусковом режиме (F=0) в соответствии с (1.70) и (2.25) можно записать
(2.33)
Проинтегрировав это выражение, определив постоянную интегрирования из условия того, что в момент времени t=0 система находилась в покое, т.е. у'''=у''=у'=0, y= 
и, подставив из (I.7I) значение Кд, получим
(2.34)
Решение у (2.34) ищем как сумму общего решения y0 однородного уравнения, соответствующего (2.34), и частного решения y=At+B неоднородного уравнения (2.34) [103], т.е.
У=У0+ У*. (2.35)
Подставив у* в (2.34), найдём
,
откуда определим А и В
A=2V3KR , (2.36)
(2.37)
Общее решение y0 (2.34) определяется корнями p1,2 его однородного уравнения. При переходе в (2.34) к изображениям и равенстве нулю его правой части получим
(2.38)
Корни р1,2, как видно из (2.38), являются при настройке главного электропривода на технический оптимум, т,е. 
комплексно-сопряжёнными, т.к. подкоренное выражение (дискриминант) (2.38) всегда меньше нуля. В этом случае, введя обозначения
(2.39)
(2.40)
запишем решение (2.34) в следующем виде
(2.41)
Постоянные интегрирования С1, С2 находим из (2.41) и его первой производной по времени, исходя из начальных условий, определяемых тем, что система до приложения воздействий находилась в состоянии покоя.
,
(2.42)
На основании (1,67) и (2.41) скорость резания равна
, (2.43)
а угловая скорость шпинделя с учётом основного соотношения режима ССР (1.70) определяется выражением
(2.44)
Появление усилия резания в момент врезания вызывает в системе ССР переходный процесс, при этом линеаризованное уравнение в соответствии с (1.70) и (2.30) принимает вид
(2.45)
Решение этого уравнения у ищем как и ранее в виде суммы (2.35). Проделав математические выкладки и, обозначив корни однородного уравнения, соответствующего (2.45) через 
, которые можно найти, например, по формуле Кардано [51], получим
, (2.46)
(2.47)
Для определения постоянных С1, С2, С3 найдём значение первой 
и второй 
производных выражения (2.41) в момент врезания tF
, (2.48)
.(2.49)
Время tf может быть найдено по графику переходной функции R(t), определяемой (2.41) при заданном значении радиуса Rf, на котором происходит врезание или с помощью известных методов решения трансцендентных уравнений вида (2.41).
Момент врезания - tf является моментом приложения F, т.е. моментом перехода от описания процессов в системе уравнением (2.41) к уравнению (2.46). Следовательно, в соответствии с методом припасовывания [11, 46] начальные условия (2.46), т.е. значения R2(t) и его производных при t=0 равны соответствующим величинам, найденным из (2.41) при t=tF, т.е. 
,
, . Отсюда получаем следующую систему уравнений
(2.50)
Из этих уравнений найдём
, (2.51)
, (2.52)
. (2.53)
На основании (1.67) и (2.46) скорость резания равна
(2.54)
а угловую скорость определяем в соответствии с (2.44), используя (2.54) и (2.46).
При использовании метода замороженных коэффициентов [11] полагаем, что за время переходного процесса радиус обработки существенно не изменяется, т.е. его значение остаётся постоянным и равным начальному R0. При этом для ПДС (АППР) системы ССР (см. рис. 1.14, рис. 1.13) можно записать в случае Fг=F=0 на основании (1.70), (1.71) следующее выражение
(2.55)
Произведя математические выкладки, аналогичные проделанным выше, получим
(2.56)
где 
и 
описываются (2.39), (2.40), a V(t) равна
V(t) = w(t) Ro. (2.57)
При действии возмущения F для рассматриваемых систем справедливо следующее уравнение
(2.58)
В случав метода замороженных коэффициентов начальные условия при действии F определяются тем, что к моменту его приложения в системе должно установиться заданное значение скорости резания V3, откуда в соответствии с (1.1) начальное значение w равно V3/RF =0 и решение (2.58) записывается в cледующем виде
(2.59)
где и описываются (2.39), (2.40), a V(t) равна
V(t)=w(t)RF. (2.60)
Для АПР системы (см. рис. 1.11) в пусковом режиме, т.е. при Fе = F=0 в соответствии с методом замороженных коэффициентов на основании (1.56) с учётом (1.54) запишем
(2.61)
откуда при комплексно-сопряжённых корнях 
однородного уравнения, соответствующего (2.61), получаем
(2.62)
(2.63)
а определяется (2.39).
Из (2.63) видно, что при малых возможно появление действительных корней
(2.64)
В этом случае w (t) равна
. (2.65)
В обоих случаях V(t) находится в соответствии с (2.57).
При действии возмущения метод замороженных коэффициентов приводит к следующему уравнению для АПР системы ССР
. (2.66)
Когда однородноe уравнение имеет комплексно-сопряжённые корни, описываемые (2.39), (2.63) при R0=RF решение (2.66) имеет вид
(2.67)
а при действительных корнях р1,2 (2.64) записывается так
(2.68)
Скорость резания в обоих случаях определяется согласно (2.60).
Для АП системы ССР (см. рис. 1.10) в соответствии с методом замороженных коэффициентов и (1.30) в пусковом режиме, т.е. при Fz= F= 0 справедливо следующее выражение
(2.69)
(2.70)
а при действии возмущения 
, (2.71)
где описывается (2.70) при R0=RF.
В уравнениях (2,69), (2.71) находится в соответствии с (2.39).
Для решения нелинейных дифференциальных уравнений систем CCP методом Рунге-Кутта на ЦВМ они должны быть записаны в виде, содержащем только первые производные. Так, с учётом обозначений (2.4), т.е. w=y2, w'=y3 уравнения для ПДС (АППР) системы ССР принимают вид (2.5), а для АД и АПР систем ССР записываются соответственно в следующей форме
(2.73)
В приложении 2 приведены показатели качества рассматриваемых систем ССР в динамическом режиме: 
- максимальное перерегулирование в- %; tM - время соответствующее и tp – время регулирования, в секундах; Nn - число перерегулирований за время tp.
Коэффициент Kpv в системах определялся на основании соответствующих зависимостей при параметрах систем (1.77), технологических параметрах (1.78) и при 
, V3≥ 2м/с. Здесь необходимо отметить, что те значения KpV, которые определялись для случая, V3≥ 0,4-0,2 м/с имеют большие значения и настолько ухудшают динамику систем, что их использование становится невозможным. Обеспечениевысокого значения Kpv в сочетании с требуемым качеством динамических процессов, возможно только в ПДС (АППР) системе ССР при принятии специальных схемных решений.
Определение динамических показателей работы систем таких как - tp, Nn производилось при 
, т.е. когда V3(
) <V3(
).
В приложении 2 приведены показатели качества динамических режимов работы различных систем ССР, а также погрешность их определения с помощью линеаризованных уравнений и метода замороженных коэффициентов при различной комбинации технологических параметров процесса резания, охватывающих основные
режимы резания токарных станков.
Для более детального исследования процессов в системах в некоторых случаях проводился их анализ в одной системе, обладающей различным значением параметров. Так, в табл. П.2.6 – П.2.19 приведены результаты исследования систем с параметрами, указанными в (1.77), (1.78), а в табл. П.2.1 – П.2.5 при Т= 0,3с. Для первого случая на рис. 2,1 – рис. 2.4 приведены переходные функции по координатам ПДС и АПР систем ССР. На этих и последующих рисунках сплошной линией обозначены переходные функции, полученные при решении нелинейных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта, штрихпунктирной - методом замороженных коэффициентов и пунктирной с помощью линеаризованных уравнений.
Анализ динамических процессов в системах ССР позволил установить ряд особенностей их работы.
Динамика систем в пусковых режимах существенно зависит от технологических параметров обработки. При увеличении V3 , KR и уменьшении R0, т.е. в общем случае при увеличении скорости изменения R показатели качества динамических процессов ухудшаются 
возрастают). Подобные зависимости динамических процессов, например, от значения задающего сигнала наблюдались и в других нелинейных системах управления [137]. Зависимость динамических процессов от знака KR объясняется тем, что при Kg>0 по достижению V(t) заданного значения w(t) должна начать снижаться, а при KR<0 – увеличиваться. С учётом инерциональности главного привода это приводит в случае KR> 0 к большим значениям , чем при КR<0 (см. рис. 2.1 – рис. 2.4).
Коэффициент передачи МЗос, а следовательно, и общий коэффициент передачи АП или АПР системы зависит от R, что обуславливает дополнительное влияние R на динамические процессы в пусковых режимах в этих системах, качественные показатели которых улучшаются при уменьшении R0 и KR<0. Действие двух взаимно противоположных зависимостей от R0 обеспечивает в АП и АПР системах СCP по сравнению с ПДС и АППР системами лучшие показатели качества динамических процессов в пусковом режиме при прочих равных условиях (см. табл. П.2.1 - табл. П.2.3, табл. П.2.6, табл, П.2.8, рис. 2.1 – рис. 2.4), особенно в АПР системе, где, благодаря действию U0, можно значительно снизить Kpv.
В АППР и ПДС системах ССР общий коэффициент передачи системы при изменении R0 остаётся постоянным, поэтому в случае KR=0 т.е. когда поперечная подача отключена и R(t)=R0=const, переходные процессы в этих системах зависят только от параметров системы управления и, в частности,
 |
Рис. 2.1. Переходные функции ПДС системы ССР в пусковом режиме при T=0,03с,V3=10 м/с, R0 =50мм, Kpv = 6. Кривые I, 2 - по скорости резания; 3, 4 - по радиусу обработки; 1,3-при - KR=-0,24 мм/рад; 2,4- KR=0,24мм/рад.
|
Рис. 2.2. Переходные функции АПР системы ССР в пусковом ре-жиме при Т= 0,03с, V3=10 м/с; R0 =50мм; Kpv = 22. Кривые I, 2 - по скорости резания; 3, 4 - по радиусу обработки; 1,3 при KR=0,24 мм/рад; 2,4- KR=0,24мм/рад
|
Рис. 2.3. Переходные функции ПДС системы ССР в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при Т= 0,03с, V3=10 м/с; R0 =50мм, Kpv = 6. Кривые I, 2 –KR=- 0,24 мм/рад; 4.5- KR=0,24мм/рад
|
Рис. 2.4. Переходные функции АПР системы ССР в пусковом режиме по угловой скорости шпинделя при Т= 0,03с, V3=10 м/с; R0 =50мм, Kpv = 22. Кривые 1 при KR=- 0,24 мм/рад; 3- KR=0,24мм/рад
от Кру. На этой особенности и основана работа ПДС системы ССР с различным значением параметров в пусковом режиме, структурная схема которой изображена на рис. 2.5. В момент пуска по соответствующему сигналу схемой DT формируется импульс определённой длительности, на время которого ключSA замыкается и устанавливает в системе коэффициент регулятора скорости резания, равный KpvQ, а также блокируется поперечная подача, т.е. КR=0. Значение Kpvа определяется, например, с помощью линеаризованных уравнений таким, чтобы обеспечить переходный процесс по координатам системы с заданными показателями качества. Время этого переходного процесса постоянно и ему равна длительность импульса схемы DT, по окончании которого включается поперечная подача и размыкается ключ SA, устанавливая рабочее значение Кру = KpVQ Kpvb, определяемое требуемой 
с учётом технологических параметров и параметров самой системы управления.
В результате переключения значений Kpv в системе возникает очень незначительный переходный процесс (см. табл. П.2.II, | бм <0,05%) даже при изменении Kpv почти в 5000 раз. Более существенен переходный процесс при включении поперечной подачи, т.е. переходе КR от нулевого к заданному значению, причём здесь сохраняются все указанные выше зависимости от технологических параметров. Однако даже при их комбинации, приводящей к наихудшему процессу (см. табл. П.2.12) 
%, что практически допустимо для всех видов токарных станков. На рис. 2.6 изображены переходные функции рассмотренной системы ССР.
Для адекватного сравнения различных систем ССР в динамическом режиме, обусловленном действием возмущающего воздействия на разных радиусах Fz(F),на разных радиусах RF значение возмущения выбирается таким, чтобы обеспечить одинаковый момент М=RpFz. на
 |
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 17 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
