Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона).
Поэтому его площадь равна 76,5.
Ответ:76,5.
Ответ: 76,5
4. B 5 № 27948. 
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат 
, считая стороны квадратных клеток равными 
.
Решение.
радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Ответ: 2.
Ответ: 2
5. B 5 № 27716. 
Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину вектора 
.
Решение.
Разность векторов равна вектору 
. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Поэтому 
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
6. B 5 № 55603.
Площадь круга равна 
. Найдите длину его окружности.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, 
, значит, 
Ответ: 42.
Ответ: 42
7. B 5 № 244983. 
Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких квадратов и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
.
Примечание.
Наш четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей. Поэтому она равна 3.
Ответ: 3
8. B 5 № 27747. 
В треугольнике 
. Внешний угол при вершине 
равен 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
.
Ответ: 64.
Ответ: 64
9. B 5 № 27896. 
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, 
– диаметр.
Ответ: 6.
Ответ: 6
10. B 5 № 27605.
Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
Вариант № 3658804
1. B 5 № 27658. 
Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (-2, 2).
Решение.
Координаты точки, делящей отрезок пополам, считаются по формуле:
, 
.
Ответ: 5.
Ответ: 5
2. B 5 № 27598. 
Найдите площадь сектора круга радиуса 
, центральный угол которого равен 90°.
Решение.
Площадь сектора круга, центральный угол которого равен 
n° равна четверти площади круга. Поэтому
.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
3. B 5 № 55603.
Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, , значит,
Ответ: 42.
Ответ: 42
4. B 5 № 27561. 
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому
см2.
Примечание.
Приведем другое решение. Площадь параллелограмма равна разности площади прямоугольника и двух равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами параллелограмма. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Ответ: 12
5. B 5 № 27924. 
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
трапеция – равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.
Ответ: 6.
Ответ: 6
6. B 5 № 244983. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких квадратов и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
.
Примечание.
Наш четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей. Поэтому она равна 3.
Ответ: 3
7. B 5 № 27679. 
Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.
Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC.
Координаты точки P вычисляются следующим образом:
, 
,
но с другой стороны,
, 
.
Поэтому 
, 
Ответ: 2.
Ответ: 2
8. B 5 № 27720. 
Стороны правильного треугольника равны 
. Найдите длину вектора 
.
Решение.
Достраиваем треугольник до ромба. Поскольку 
необходимо найти длину большей диагонали ромба, равную удвоенной длине медианы равностороннего треугольника. Таким образом, имеем:
.
Ответ: 6.
Ответ: 6
9. B 5 № 27572. 
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому
см2.
Ответ: 9.
Ответ: 9
10. B 5 № 244995. 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника и двух одинаковых треугольников, площади которых равны половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
.
Примечание.
Отрезав от фигуры верхний правый прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2, можно приложить его к левому нижнему прямоугольному треугольнику, достроив тем самым фигуру до прямоугольника со сторонами 1 и 3, площадь которого равна 3.
Ответ: 3
Решение.
Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметр прямоугольника будет соответственно равен P = 2 
a + 2 b = 28. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора a 2 + b 2 = 100. Тогда имеем:
Тем самым, S = a · b = 48.
Ответ: 48.
Ответ: 48
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 2, которые, приложив их гипотенузы друг к другу, можно сложить в прямоугольник со сторонами 1 и 2, площадь которого равна 2.
Ответ: 2
Решение.
Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.
, 
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
Решение.
проведем высоту 
из точки на продолжение стороны 
. Тогда:
.
Ответ: -2.
Ответ: -2
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 33 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |