см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
2. B 5 № 244989. 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольного треугольника и маленького прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной исходного четырехугольника. Поэтому
.
Ответ: 2,5
3. B 5 № 27748.
В треугольнике 
. Внешний угол при вершине 
равен 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
.
Ответ: 69.
Ответ: 69
4. B 5 № 27714. 
Диагонали изображенного на рисунке ромба 
равны 12 и 16. Найдите длину вектора 
+ 
.
Решение.
Длина вектора 
равна вектору 
. Длина вектора равна 
.
Ответ: 16.
Ответ: 16
5. B 5 № 27547. 
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Выберем за основание вертикальную сторону, длиной 3 клетки. Тогда проведенная к ней из левой нижней вершины труегольника высота равна 5 клеткам (см. рис.). Поэтому
см2.
Ответ: 7,5.
Ответ: 7,5
6. B 5 № 319057. Площадь параллелограмма равна 176. Точка 
– середина стороны 
. Найдите площадь треугольника 
.
Решение.
Пусть 
− перпендикуляр, опущенный из точки 
на продолжение стороны 
Выразим площадь треугольника через площадь параллелограмма 
Ответ: 44.
Ответ: 44
7. B 5 № 27690. 
Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3 x + 2 y = 6 и y = − x.
Решение.
Решая совместно эти два уравнения, получаем, что x = 6, y = −6.
Ответ: −6.
Ответ: -6
8. B 5 № 27717. 
Диагонали ромба пересекаются в точке 
и равны 12 и 16. Найдите длину вектора 
+ 
.
Решение.
Сумма векторов + равна вектору . — ромб, его диагонали пересекаются под прямым углом, значит,
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
9. B 5 № 27564. 
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9).
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Ответ: 12
10. B 5 № 27453. 
Найдите тангенс угла 
.
Вариант № 3658517
1. B 5 № 27450. 
Найдите тангенс угла .
Решение.
проведем высоту 
из точки на сторону 
. Тогда, принимая во внимание, что 
, получим:
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
2. B 5 № 27552. 
Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
Решение.
Площадь прямоугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного прямоугольника. Поэтому
см2.
Ответ: 10.
Примечание
Для вычисления площади фигуры можно сложить площади треугольников BCD и BAD, имеющих общую сторону BD, длина которой равна 5, и равные проведенные к ней высоты длины 2.
Ответ: 10
3. B 5 № 27669.
Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (6; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; 8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox
Решение.
Уравнение прямой имеет вид 
, где 
— угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс. Угловой коэффициент прямой a отрицателен и равен 
. Прямые а и b параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны. Следовательно, уравнение прямой b имеет вид 
.
Точка 
лежит на прямой b, поэтому 
, откуда 
. Тогда прямая b задается уравнением 
. Осталось найти абсциссу точки пересечения b с осью абсцисс:
.
Приведем другое решение.
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Прямая b на оси ординат отсекает отрезок вдвое больше, чем прямая a. Следовательно, на оси абсцисс она тоже отсекает отрезок вдвое большей длины. Поэтому искомая абсцисса равна 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
4. B 5 № 27544. 
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
5. B 5 № 27937. 
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Решение.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда 
Ответ: 10.
Ответ: 10
6. B 5 № 27938. 
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Решение.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
Ответ: 2.
Ответ: 2
7. B 5 № 27723. 
Найдите сумму координат вектора .
Решение.
Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Вектор имеет координаты 
. Поэтому сумма координат вектора равна 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
8. B 5 № 27936. 
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение.
в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
Ответ: 4.
Ответ: 4
9. B 5 № 245003.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1, поэтому их площади 0,5, а сумма этих площадей равна 1.
Ответ: 1
10. B 5 № 27697. 
Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).
Вариант № 3658576
1. B 5 № 27858. 
Найдите хорду, на которую опирается угол 
, вписанный в окружность радиуса 3.
Решение.
, значит, 
, т. к. является центральным углом, опирающимся на ту же хорду. Соответственно, треугольник – равносторонний, так как 
.
Ответ: 3.
Ответ: 3
2. B 5 № 27456. 
Найдите тангенс угла .
Решение.
Достроим угол до треугольника 
, 
. делит основание пополам, значит, – высота. Из рисунка находим 
.
.
Примечание.
Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
3. B 5 № 27670. 
Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (−6; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; −6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью O
Решение.
Прямые параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны. Тогда 
, откуда 
.
Ответ: 9.
Ответ: 9
4. B 5 № 27571.
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому
см2.
Ответ: 30.
Ответ: 30
5. B 5 № 27674.
Точки O (0; 0), A (6; 8), B (6; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.
Решение.
Так как у параллелограмма противоположные стороны попарно равны, то 
, 
. Известно, что имеет координаты 
, следовательно,
.
Поэтому 
.
Ответ: 6.
Ответ: 6
6. B 5 № 27726. 
Вектор с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки .
Решение.
Пусть координаты точки B равны xB и yB. xB. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Следовательно, xB − 3 = 9, yB − 6 = 3. Откуда xB = 12, yB = 9. Поэтому сумма координат точки B равна 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
7. B 5 № 27564. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9).
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Ответ: 12
8. B 5 № 27925. 
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника 
. Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
откуда 
Тогда по теореме синусов:
Ответ: 6.
Приведем другое решение (Р. А., СПб.).
Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.
Ответ: 6
9. B 5 № 244993. 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких прямоугольников и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому 
.
Примечание.
Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 4.
Ответ: 4
10. B 5 № 245004.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Вариант № 3658694
1. B 5 № 245006.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
.
Примечание.
Четырёхугольник составлен из двух треугольников, имеющих общее основание, равное длине квадратной клетки: прямоугольного с катетами 1 и 1, и тупоугольного с основанием длины 1 и высотой, проведенной к этому основанию, также длины 1. Поэтому площадь четырехугольника равна 0,5 + 0,5 = 1.
Ответ: 1
2. B 5 № 27588
. 
Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть неизвестный катет равен a. Тогда
см2,
откуда a = 8 см.
Ответ: 8.
Ответ: 8
3. B 5 № 319056. Площадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма 
, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Решение.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 33 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |