Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева 5 страница

Теорема:! – база унитарного пространства , . Данная база ортонормированная .

Доказательство: ! – ортонормированная база. Тогда , т.к. . ! есв. равенства . Тогда – ортонормированная база.

Ортогональные суммы.

Опр.: Подпространства и называются ортогональными, если .

Опр.: Сумма подпространств называется ортогональной, если при .

Лемма: Ортогональная сумма подпространств является прямой.

Доказательство:! , где . В силу замечания из пункта «Прямые произведения» достаточно показать, что . Действительно, . По аксиоме 4 скалярного произведения .

Ортогональное дополнение.

Опр.:! подпространство унитарного пространства . Множество Это ортогональное дополнение подпространства . Очевидно, что - подпространство пространства .

Теорема: .

Доказательство:! – это ортонормированная база . По теореме из предыдущего пункта такие векторы – ортонормированная база пространства .! – линейная оболочка векторов . Очевидно, что и при этом . Остаётся доказать, что .! . В силу , где . Мы имеем , т.е. . Итак, .

Дата добавления: 2015-08-29