Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева 2 страница

Ранг матрицы.

Опр.:! , где – поле. Рассмотрим . Выберем в произвольные строк и столбцов. Составляем определитель из элементов матрицы , стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Этот определитель называется минором порядка .

Опр.: Рангом (минорным) матрицы называется число , которое определяется так: , если – нулевая матрица, , если минор порядка матрицы , отличный от нуля, а все миноры порядка равны нулю или .

Опр.: Рангом по строкам (столбцам) называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Другими словами , где – линейная оболочка строк (столбцов) матрицы .

Опр.: Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования: 1) Перестановка 2-х строк (столбцов); 2) Прибавление к одной из строк (одному из столбцов) другой строки (другого столбца), умноженной (умноженного) на некоторый элемент .

Лемма 1: Если получается из элементарным преобразованием, то ранги и по строкам (столбцам) совпадают.

Доказательство: Установим, например, неизменность ранга по строкам при элементарном преобразовании строк. 1)! получается из элементарным преобразованием 1-го типа. т.к. множество строк матриц и одинаково, то подпространство, порождённое строками матриц и совпадают; 2) Пусть получается из прибавлением к -й строке -й строки, умноженной на .! – строка матрицы . Тогда – это строка матрицы . Обозначим – линейная оболочка строк матрицы , – так же, то . С другой стороны , поэтому строки содержатся в – т.о. .

Лемма 2: Если получается из элементарным преобразованием, то .

Доказательство: Лемма 2 вытекает из свойств определителей.

Теорема (о ранге матрицы): У матрицы все 3 ранга совпадают.

Доказательство: Если – нулевой матрице, то тогда теорема верна в силу определений.! . Элементарными преобразованиями 1-го типа приводим к виду, где в левом верхнем углу стоит элемент . Элементарными преобразованиями 2-го типа приводим полученную матрицу к виду . Если все элементы кроме равны нулю, то процесс закончился. Если ещё один ненулевой элемент, то элементарными преобразованиями строк и столбцов, с номерами, большими единицы, приводим к виду: , где . Продолжая процесс, мы элементарными преобразованиями приводим к виду , где . Но по виду этой матрицы заключаем, что у не все три ранга равны. В силу лемм 1 и 2 это верно и для матрицы .

Следствие 1:! – квадратная матрица порядка . 1) строки (столбцы) матрицы линейно независимы, т.е. образуют базу пространства (базу пространства строк или столбцов); 2) строки (столбцы) линейно зависимы (одна из строк (столбцов) есть линейная комбинация остальных).

Следствие 2: матрицы .

Теорема (о ранге произведения матриц):! – квадратные матрицы порядка . Тогда .

Доказательство:! . . Тогда , где – -я строка матрицы . т.о. строка матрицы является линейной комбинацией строк матрицы . Поэтому, если – линейная оболочка строк , – линейная оболочка строк (всевозможная линейная комбинация строк – ), то . Далее, .

Следствие:! – квадратные матрицы порядка , . Тогда .

Доказательство:! . По теореме о ранге произведения матриц . В силу условия матрица . Снова по теореме о ранге произведения матриц . Итак, .

Общая теория линейных систем.

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений , где , – матрица системы , - расширенная матрица системы .

Теорема (Кронекера-Капелли): Система совместна (имеет хотя бы одно решение) .

Доказательство: ! совместна и – решения этой системы. Тогда ввиду последний столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов матрицы . Если – линейная оболочка столбцов - линейная оболочка столбцов , (всегда ), то тогда . ! последний столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов . Если – коэффициент этой линейной комбинации, то – решение системы , а значит и системы .

Однородное линейное уравнение.

Опр.: Система линейных уравнений вида называется однородной, если последний столбец нулевой. Такая система всегда совместима, т.к. имеет решение Решение будем записывать в виде .

Лемма: Если – множество всех решений системы , то – подпространство пространства .

Доказательство: Очевидно, . Если , . Далее, – подпространство.

Опр.: база называется фундаментальной системой решений системы .

Опр.: Рангом системы называется ранг матрицы , где .

Теорема (об однородных линейных уравнениях): .

Доказательство: Если , то в силу предыдущего пункта система имеет единственное решение, нулевое.! . Будем считать, что первые строк матрицы линейно независимы. Тогда равносильна системе . Будем предполагать, для определенности , т.е. – свободные неизвестные. Полагаем . Получим решение . Аналогично, полагая получим решение . Очевидно, эти решения линейно независимы и каждое решение есть линейная комбинация этих векторов – база , т.е. .

Суммы и пересечения подпространств.

Лемма 1: Если – подпространства из , то – подпространство.

Доказательство: т.к. , то , т.е. . 1) ; 2) .

Лемма: – подпространство пространства .

Доказательство: Очевидно, . 1) ; 2) Аналогично, .

Теорема (о размерности суммы двух подпространств):! – подпространства пространства . Тогда

Доказательство:! и – база . По теореме о дополняемости линейно независимой системы векторов, до базы найдутся такие векторы , что – база . – база . Тогда . Докажем, что – база . Тогда . Пусть . По определению . Поскольку – множество наибольших векторов базы , – линейная комбинация векторов , т.е. – система образующих пространства . Предположим, что – линейно зависима один из векторов есть линейная комбинация предыдущих. Это некоторый вектор (поскольку первые векторов есть база ). Итак, . Отсюда (2) – линейно зависимая система. Это противоречие. Поэтому – система линейно независимая, а значит является базой .

Опр.:! – некоторое подпространство пространства . Сумма этих подпространств называется прямой, если каждый вектор однозначно записывается в виде .

Замечание: В определении прямой суммы достаточно потребовать однозначность разложения нулевого вектора. Отсюда вытекает однозначность разложения любого вектора.

Теорема 1: Сумма будет прямой .

Доказательство: ! . Предположим, что и . Тогда . Это противоречит определению прямой суммы. . ! . В силу замечания надо доказать . Действительно, или , то . Поэтому .

Теорема 2: Сумма будет прямой .

Доказательство: ! . Покажем, что - линейно независимые. Действительно,! – линейно независимые векторы . Итак, – линейно независимы база (). ! – база .

Теорема (о прямого дополнения):! – подпространство пространства . Тогда такое подпространство , что ( – прямое дополнение к ).

Доказательство:! – база . По теореме о дополняемости линейно независимой системы векторов до базы, найдутся такие вектора – база . Если – линейная оболочка векторов , то эти векторы есть база .

Дата добавления: 2015-08-29