Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева 4 страница

Опр.:! – квадратная -матрица порядка . Обозначим . Будем считать, что если , то это унитарный многочлен.

Теорема 2: Многочлены не изменяются при элементарном преобразовании матрицы .

Доказательство следует из свойств определителей.

Опр.:! , где на главной диагонали . Многочлены называются инвариантными множителями матрицы .

Теорема 3:! отличны от нуля, , . Тогда .

Следствие: приводится элементарными преобразованиями к каноническому диагональному виду (инвариантные множители определяются матрицей однозначно).

Доказательство: В силу теоремы 2 многочлены для матриц и совпадают. Поскольку , то . Пусть . минор порядка матрицы . Тогда либо имеет ненулевую строку, столбец, либо имеет вид . Поскольку имеет минор порядка и при этом ) и т.д.

Теорема (признак эквивалентности -матриц в терминах инвариантных множителей): Две квадратные -матрицы порядка эквивалентны они обладают одинаковыми наборами инвариантных множителей.

Доказательство: ! и обладают одинаковыми наборами многочленов и обладают одинаковыми наборами инвариантных множителей. ! и обладают одинаковыми наборами инвариантных множителей. – каноническая диагональная матрица, тоже для . По нашему предположению .

Теорема (матричный признак эквивалентности):! – квадратные -матрицы порядка . , где – ненулевые элементы поля.

Доказательство: ! . В силу замечания , где – матрицы вида из замечания и и – ненулевые элементы поля. Значит, если , то - ненулевые элементы поля. – ненулевые элементы поля – искомые матрицы. ! теперь , где и – элементы поля. Заметим, что многочлен матрицы равен . Отсюда , т.к. – унитарные многочлены. Значит, (признак эквивалентности -матриц в терминах инвариантных множителей). По замечанию , где – матрицы типа из замечания. Аналогично, , где – матрицы типа из замечания, т.о. . Снова по замечанию .

Элементарные делители.

Введение:! – квадратная -матрица порядка . – инвариантные множители матрицы .!, далее, – непостоянный инвариантный множитель. Разложим его следующим образом: на произведение различных неприводимых над полем унитарных многочленов.

Опр.: Многочлены – элементарные делители инвариантного множителя . Говорят, что элементарный делитель принадлежит многочлену .

Опр.: Элементарными делителями матрицы называется набор элементарных делителей её непостоянных инвариантных множителей.

Теорема: Порядок, ранг и элементарные делители квадратной -матрицы однозначно определяют инвариантные множители .

Доказательство усматривается из примера:! – квадратная матрица порядка 6, и элементарные делители . Имеет 6 инвариантных делителей множителей: , т.к. , то . Поскольку делят , то . Оставшиеся элементарные делители: , т.к. делят , то . Остаётся 1 элементарный делитель .

Теорема (об элементарных делителях диагональной -матрицы):! – диагональная -матрица. Тогда система элементарных делителей совпадает с объединением элементарных делителей её непостоянных диагональных элементов.

Теорема (об элементарных делителях клеточно-диагональной матрицы): Если – клеточно-диагональная матрица, то система её элементарных делителей есть объединение её элементарных делителей.

Теорема (критерий подобия матриц): Матрицы и подобны их характеристические матрицы эквивалентны.

Доказательство: ! , т.е. . Тогда , а значит (матричный признак эквивалентности).

Нормальная форма Жордана.

Лемма:! – клетка Жордана порядка . Тогда имеет 1 элементарный делитель .

Доказательство: . Мы имеем , т.к. – это унитарный многочлен, то . Заметим, что 1 из миноров матрицы порядка равен 1 (он получает вычеркиванием 1-го столбца и последней строки) .

Теорема Жордана:! - квадратная матрица с коэффициентами из поля и разлагается в поле на линейные множители. Тогда матрица подобна жордановой матрице . При этом матрица единственна с точностью до порядка расположения клеток Жордана.

Замечание: Если – алгебраически замкнутое поле, например, поле , то матрица с коэффициентами из подобна жордановой матрице.

Доказательство:! – квадратная матрица порядка . – характеристическая матрица для . полный набор элементарных делителей -матрицы. . Заметим, что , т.к. произведение многочленов совпадает с многочленом степени . Построим матрицу порядка следующим образом , где – клетка Жордана порядка , у которой на диагонали стоит . В силу леммы и по теореме об элементарных делителях клеточно диагональной – матрицы система является и полным набором элементарных делителей матрицы и имеет одинаковый набор инвариантных множителей, а значит, они эквивалентны (критерий эквивалентности в терминах инвариантных множителей). Итак, . Теперь по критерию подобия подобна . Единственность:! , где – жордановы матрицы. Отсюда выводим , т.е. и подобны. По критерию подобия и эквивалентны. Поэтому эти матрицы имею одинаковый набор инвариантных делителей. Теперь, в силу леммы и теоремы об элементарных делителях клеточно-диагональной матрицы, получаем, что и состоят из одних и тех же клеток Жордана.

Теорема (критерий диагонализируемости матрицы над полем): Квадратная матрица подобна диагональной матрице все элементарные делители матрицы имеют 1-ю степень.

Доказательство: ! элементарные делители имеют 1-ю степень, т.е. в системе (см. доказательство теоремы Жордана): . Поэтому матрица диагональная. ! подобна диагональной матрице матрице – полный набор элементарных делителей матрицы . Но эквивалентна (критерий подобия), а, значит, имеет тот же набор элементарных делителей.

Унитарные и Евклидовы пространства.

Опр.: Говорят, что на задано скалярное произведение, если каждое поле векторов однозначно поставлено в соответствие число . И при этом выполняются следующие аксиомы : 1) ; 2) ; 3) ; 4) при ).

Опр.:! на задано скалярное произведение. Если , то называется евклидовым (унитарным) пространством.

Опр.: Длиной (нормой) вектора называется неотрицательное действительное число .

Теорема (неравенство Коши-Бунековского): Для векторов унитарного пространства выполняется неравенство .

Доказательство: По аксиоме 4 . Если , то неравенство очевидно.! . Полагаем . Получим . Умножая это неравенство на получим .

Опр.: Углом между ненулевыми векторами унитарного пространства называется угол, определяемый из условия .

Опр.: Векторы унитарного пространства называются ортогональными, если

Лемма: Если – ненулевые взаимно ортогональные векторы, то они линейно независимые.

Доказательство:! . Тогда по аксиоме 4 система линейно независима по определению.

Опр.: Система векторов называется ортонормированной, если при и .

Теорема: Каждая ортонормированная система ненулевых векторов может быть дополнена до ортонормированной базы пространства .

Следствие: Пространство обладает ортонормированной базой. Действительно, если , то – единичный вектор. Для системы применяем теорему.

Доказательство: Рассмотрим вектор , где – линейная оболочка векторов . По лемме – линейно независимые . Тогда – линейно независимая система. Рассмотрим вектор . Очевидно, (иначе ). Подберем таким образом, чтобы . Для этого необходимо: . Итак, при найденных вектор ортогонален всем векторам Полагаем , тогда – ортонормированная система векторов. Продолжая эти рассуждения мы построим ортонормированную базу пространства .

Дата добавления: 2015-08-29