10.2.0 Волновые свойства света – 6 часов 1 страница

10.2.0 Волновые свойства света – 6 часов

Лекция 15. Формирование дифракционной картины при нормальном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку.

Формирование дифракционной картины при наклонном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку. Формирование дифракционной картины при наклонном падении плоской монохроматической световой волны на отражательную дифракционную решётку. Спектральные характеристики дифракционных решеток: угловая и линейная дисперсия. Угловая ширина главного дифракционного максимума нулевого порядка плоской монохроматической световой волны. Разрешающая способность дифракционной решёткипо критерию Релея. Дифракция рентгеновских лучей на линейных цепочках структурных элементов. Формулы Лауэ. Понятие о рентгеноструктурном анализе.

Формирование дифракционной картины при нормальном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку

Для осуществления многолучевой интерференции световых волн с близкими или равными

A амплитудами A световых векторов применяют специальные интерференционные приборы, например, дифракционную решётку.

После прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления нормально поверхности ДР дифракционной решётки, имеющей форму (рис. 10.2.0. 32) щелей бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX оси,

d шириной по OY оси и h расстоянием между щелями, I_υ интенсивность световой волныв произвольный момент t времени в M точке на Э экране, т.е. под υ углом (рис.10.2.0.34) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " к главной оптической оси Л линзы, определяется из (10.126) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " выражения дифракции Фраунгофера нащели d шириной.

Дифракционная решётка ДР имеет N щелей, поэтому вторичная сферическая волна, распространяющаяся параллельным пучком от каждой из этих N щелей под υ углом к главной оптической OZ оси Л линзы фокусируется этой Л линзойв её фокальной плоскости в M точке на

Э экране.

По аналогии (рис.10. 2.0.34) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " с выражением (10.130) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " оптической Δ разности хода двух параллельных лучей, отстоящихдруг от друга на h расстоянии и имеющих υ угол между направлением лучей и оптической OZ осью

Л линзы, оптическая(рис. 10.2.0.37) Δ разность хода между соседними из N световых лучей на Э экране имеет следующий вид: Δ = hsinυ, (10.149) где h - расстояние между щелями, т.е. постоянная

ДР дифракционной решётки.

Разность δ фаз между соседними из N световых лучей на Э экране с учётом их оптической (10.149) Δ разности хода в однородной изотропной среде с

n показателем преломления имеет следующий вид: δ = 2πΔ/λ = (2π/λ)hsinυ. (10.150) где λ - длина световой волны в изотропной среде с n показателем преломления, поэтому оптическая λ = λ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами на рис. 10.2.0.37. Векторы A_υ амплитудысветовых векторов от соседних световых волн имеют равные

A_υ модули, т.к. их оптические пути распространенияот каждой из N щелей до M точки на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, одинаковы. Разность (10.150) Ф_υk+1 - Ф_υk = δ фаз между векторами A_υ амплитудсветовых векторов от k+1 - ой и соседней k - ой щелями

ДР дифракционной (рис. 10.2.0.37) решётки у световых лучей, распространяющихся параллельным пучком от каждой из N щелей под υ углом к главной оптической OY оси Л линзы, одинакова и равна следующей постоянной величине: Ф_υk+1 - Ф_υk = δ = const. (10.151)

Согласно представлению гармонических колебаний на векторной диаграмме (рис.02.0.3)из раздела 02.0.0 " Колебания и волны " результирующий вектор A_υр световых векторов от всех N щелей будет равен сумме векторов A_υ амплитуды светового вектора от каждой из N щелей до M точки на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы.

Если количество (рис. 10.2.0.37) щелей N₁, то результирующий вектор A_υN1 амплитуды световых векторов от всех N₁ щелей будет равен сумме векторов A_υ амплитуды светового вектора от каждой из N₁ щелей до M точки на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы.

Графически (рис. 10.2.0.38) этот результирующий вектор A_υN1 определится суммой, например, 3 - х векторов A_υ, направленных под δ углом друг к другу и являющихся основаниями равнобедренных треугольников с δ углами между равными OO₁ сторонами.

равнобедренного треугольника, равным (рис. 10.2.0.38) разности (10.150) δ фаз между векторами A_υ амплитуд светового вектора от соседних щелей ДР дифракционной решётки, длина OO₁ стороны имеет следующий вид:

OO₁ =(A_υ/2)/|sin(δ/2)|. (10.152) Модуль A_υN1 результирующего вектора A_υN1 амплитуды световых векторов от всех N₁ щелей определится из равнобедренного треугольника, основанием которого является этот результирующий вектор A_υN1, а α₁ угол при вершине этого равнобедренного треугольника имеет следующий вид: α₁ = N₁δ. (10.153)

Для случая (рис. 10.2.0.38) N₁ = 3, т.е. 3 - х щелей у

ДР дифракционной решётки, A_υN1 модуль

A_υN1 результирующего вектора с учётом (10.153) имеет

В равнобедренном треугольнике с основанием, равным модулю A_υ вектора A_υ амплитуды светового вектора от (рис. 10.2.0.37) каждой из N₁ щелей, и δ углом при вершинеэтого

следующий вид: A_υN1 = 2OO₁|sin(α₁/2)| = 2OO₁ |sin(N₁δ/2)|. (10.154)

Подставляем (10.152) в (10.154) и получаем следующее значение A_υN1 модуля

результирующего вектора A_υN1 амплитуды световых векторов от всех N₁ щелей в M точке

(рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы:

A_υN1 = A_υ | [sin(N₁δ/2)]/[sin(δ/2)]|,(10.155) где (10.137) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " A_υ - амплитуда A светового вектора световой волны от одной щели (рис. 10.1.0.35) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света "в M точке на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы.

Согласно (рис. 10.2.0.38) при увеличении числа N щелей, например, до 4 -х угол α₁/2 = (N₁δ/2) становится равным π/2 и модуль A_υmax результирующего вектора A_υN2 амплитуды световых векторов от всех N₂ щелей в M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси

Л линзы, становится максимальным, что означает существование дифракционного максимума на

Э экране под этим υ углом к главной оптической оси Л линзыи этого числа N₂ щелей у

ДР дифракционной решётки.

При увеличении числа N щелей (рис. 10.2.0.38) до величины N₃, например, до 6 -ти модуль A_υN3 результирующего вектора A_{υ N3} амплитуды световых векторов от всех N₃ щелей в M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, с учётом (10.154) принимает следующий вид:

A_υN3 = 2OO₁| sin(α₂/2)| = 2OO₁|sin[π - (N₃δ/2)]| = 2OO₁|sin(N₃δ/2)| = A_υ | [sin(N₃δ/2)]/[sin(δ/2)]|. (10.156) По сравнению с A_υmax модулем при числе N₂ щелей, например (рис. 10.2.0.38), равным 4 -ём,модуль A_υN2 результирующего вектора A_{υ N2} амплитуды световых векторов от всех N₂ щелей в

M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, стал меньше.

При числе N щелей, например (рис. 10.2.0.38), равным 8 - ми, модуль A_υmin результирующего вектора A _2min амплитуды световых векторов от всех N щелей в M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, становится равным нулю, что означает существование дифракционного минимума на Э экране под этим υ углом к главной оптической оси Л линзыи этого числа N щелей у ДР дифракционной решётки.

Из сравнения (10.155) и (10.156) при произвольном значении числа N щелей A_υN модуль результирующего вектора A_υN амплитуды световых векторов от всех N щелей в M точке

(рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, имеет следующий вид: A_υN = A_υ | [sin(Nδ/2)]/[sin(δ/2)]|. (10.157) По аналогии с (10.140) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " I_υN интенсивность

световой волны после прохождения параллельным пучком ДР дифракционной решётки с

N щелямипропорциональна квадрату A_υN ² амплитуды результирующего вектора A_υN амплитуды световых векторов в M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, и эта I_υN интенсивность световой волны с учётом (10.157) имеет следующий вид: I_υN = I_υ [sin²(Nδ/2)]/ [sin²(δ/2)], (10.158) где I_υ - интенсивность световой волны от одной щели (рис. 10.1.0.35) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " в M точке (рис. 10.2.0.37) на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси

Л линзы.

Подставляем (10.140) из раздела 10.1.0 " Волновые свойства света " интенсивность световой волны от одной щели (рис. 10.2.0.32) в M точке на Э экране, т.е. под υ углом к главной оптической оси Л линзы, в (10.158) и получаем следующее выражение I_υN интенсивности световой волны после прохождения параллельным пучком ДР дифракционной решётки с N щелями:

I_υN = I_dsin²[(πdsinυ)/λ]/[(πdsinυ)/λ]²[sin²(Nδ/2)]/ [sin²(δ/2)], (10.159) где I_d - интенсивность (рис. 10.2.0.37) световой волны после прохождения параллельным пучком одной щели d шириной в центре Э экрана. Подставляем (10.150) разность δ фаз между соседними световыми лучами с λ длиной волны в (10.159) и получаем следующее выражение I_υN интенсивности световой волны после прохождения параллельным пучком дифракционной ДР решётки с N щелями d шириной, расстояние между которыми равно h, под (рис. 10.2.0.37) υ углом к главной оптической оси Л линзы: I_υN = I_d[ sin²(πdsinυ/λ)]/(πdsinυ/λ)²] [sin²(Nπhsinυ/λ)]/[sin²(πhsinυ/λ)]. (10.160) Второй сомножитель в (10.160) имеет следующий предел: lim[sin²(Nπhsinυ/λ)/sin²(πhsinυ/λ)] = N². (10.161) | hsinυ| → mλ, где m = 0, 1, 2, … Согласно (10.160) интенсивность I_υmaxN световой волны после прохождения параллельным пучком ДР дифракционной решётки с N щелями d шириной, расстояние между которыми равно h, под (рис. 10.2.0.37) υ_max углом к главной оптической оси Л линзыимеет следующий вид: I_υmaxN = I_d[ sin²(πdsinυ_max /λ)]/(πdsinυ_max /λ)²] N² _, (10.162) если υ_max угол к главной оптической оси Л линзы, под которым производят наблюдение дифракционной картины (рис. 10.2.0.37) на Э экране удовлетворяет следующему условию:

hsinυ_imax = ± mλ, (10.163) где υ_imax - i - ое значение угла (рис. 10.2.0.37) к главной оптической оси Л линзы, под которым при данной λ длине волны производят наблюдение главного дифракционного максимума

m - ого порядка.

На Э экране (рис. 10.2.0.37) после прохождения параллельным пучком ДР дифракционной решётки с N щелями d шириной, расстояние между которыми равно h, под υ_max углом (10.163) к главной оптической оси Л линзы колебания A световых векторов световой волны от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга. Поэтому m число в условии (10.163) определяет порядок главных дифракционных максимумов.

При (11.163) m = 0 и следовательно при υ_0max = 0 наблюдают (рис. 10.2.0.37) дифракционный максимум нулевого порядка на Э экране в 0 начале координат. Дифракционных максимумов

1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков имеется по два при (10.163) соответственно

m = 1 и m = -1, m = 2 и m = -2, m = 3 и m = -3 и т.д.

Согласно (10.163)для дифракционных максимумов 1- го, 2 -го и т.д. порядков, которые наблюдаются на Э экране под υ_imax углами к главной оптической оси Л линзы справедливо следующее соотношение: |sinυ_imax| = mλ/h. (10.164) По свойствам тригонометрической функции справедливо следующее соотношение:

|sinυ_imax| ≤ 1. (10.165) Подставляем (10.164) в (10.165) и получаем следующиезначения m_в порядков главных дифракционных максимумов, которые возможно наблюдать в дифракционной картине:

Формирование дифракционной картины при наклонном падении плоской монохроматической проходящей световой волны на дифракционную решётку

После прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления (рис. 10.2.0.39) под +θ углом падения на поверхность

ДР дифракционной решётки, имеющей форму щелей бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX оси, d шириной по OY оси и h расстоянием между щелями, оптическая Δ_+υ-m

разность хода двух параллельных лучей, отстоящихдруг от другана h расстоянии и имеющих

+υ_-m угол между направлением лучей и нормалью к поверхности ДР дифракционной решётки имеет с учётом (10.149) следующий вид: Δ_+υ-m = hsin+υ_-m, (10.166)

где знак " + " плюс означает, что υ_-m угол отсчитывается от нормали к поверхности

ДР дифракционной решётки по "часовой стрелке".

Оптическая Δ_+θ разность хода двух параллельных лучей, падающих (рис. 10.2.0.39) под

+θ угломотносительно нормали к поверхности ДР дифракционной решётки, отстоящимидруг от другана h расстоянии, имеет с учётом (10.149) следующий вид: Δ_+θ = hsin(+θ). (10.167) Общая оптическая Δ_o+θ разность хода двух параллельных лучей, падающих (рис. 10.2.0.39) под +θ угломотносительно нормали к поверхности ДР дифракционной решётки, и выходящих из

N щелей в виде вторичной сферическая волна под +υ_-m углом, имеет с учётом (10.166), (10.167) следующий вид: Δ_o+θ = Δ_+θ - Δ_+υ-m = hsin(+θ) - hsin(+υ_-m), (10.168) где знак " - " минус присутствует потому, что верхний из падающих (рис. 10.2.0.39) под

+θ угломотносительно нормали к поверхности ДР дифракционной решётки световых лучей на величину Δ_+θ имеет бόльшую оптическую длину по сравнению с нижним световым лучом, а верхний из выходящих из N щелей в виде вторичной сферической волны под +υ_-m углом световых лучей на величину Δ_+υ-m имеет меньшую оптическую длину по сравнению с нижним световым лучом.

Условие наблюдение главного дифракционного максимума m - ого порядка (рис. 10.2.0.39) на Э экране от прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления под +θ углом падения на поверхность ДР дифракционной решётки, имеет с учётом (10.168) следующий вид: Δ_o+θ = hsin(+θ) - hsinυ_imax= ± mλ, (10.169)

где υ_imax - i - ое значение угла к главной оптической оси Л линзы, под которым при данной λ длине волны производят наблюдение главного дифракционного максимума m - ого порядка.

Условие наблюдение главного дифракционного максимума 0 - ого порядка (рис. 10.2.0.39) на Э экране от прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления под +θ углом падения на поверхность ДР дифракционной решётки, имеет с учётом (10.169) следующий вид: Δ_o+θ = hsin(+θ) - hsin(+υ₀) = 0 ↔ +θ =+υ₀, (10.170)

где +υ₀ - значение угла к главной оптической оси Л линзы, под которым при данной λ длине волны производят наблюдение главного дифракционного максимума 0 - ого порядка, которое равно +θ углу падения на поверхность ДР дифракционной решётки параллельного пучка световой волныв однородной изотропной среде с n показателем преломления.

Условие наблюдение главного дифракционного максимума "- m" порядка (рис. 10.2.0.39) на

Э экране от прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления под +θ углом падения на поверхность ДР дифракционной решётки, имеет с учётом (10.169) следующий вид:

Δ_o+θ = hsin+θ - hsin(+υ_-m)= - mλ ↔ sin(+υ_-m) =(mλ/h) + sin(+θ), (10.171)

где +υ_-m > 0 - значение угла, отсчитываемое от нормали к поверхности ДР дифракционной решёткипо "часовой стрелке", под которым при данной λ длине волны производят наблюдение главного дифракционного максимума "- m" порядка, наблюдаемого на Э экране в отрицательной области

OY оси; m - модуль порядка главного дифракционного максимума.

Условие наблюдение главного дифракционного максимума "+ m" порядка (рис. 10.2.0.39) на

Э экране от прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления под +θ углом падения на поверхность ДР дифракционной решётки, имеет с учётом (10.169) следующий вид:

Δ_o+θ = hsin+θ - hsin(υ_+m)= mλ ↔ sin(υ_+m) = sin(+θ) - (mλ/h), (10.172)

где υ_+m > 0 - значение угла, отсчитываемое от нормали к поверхности ДР дифракционной решётки по "часовой стрелке", если в (10.172) sin(+θ) > mλ/h и тогда наблюдение главного дифракционного максимума "+ m" порядка наблюдается на Э экране в отрицательной области

OY оси; υ_+m < 0 - значение угла, отсчитываемое от нормали к поверхности ДР дифракционной решётки против "часовой стрелке", если в (10.172) sin(+θ) < mλ/h и тогда наблюдение главного дифракционного максимума "+ m" порядка наблюдается на Э экране в положительной области

OY оси; m - модуль порядка главного дифракционного максимума.

Условие наблюдение главного дифракционного максимума m - ого порядка (рис. 10.2.0.40) на Э экране от прохождения параллельным пучком световой волныв однородной изотропной среде с

n показателем преломления под -θ углом падения на поверхность ДР дифракционной решётки, имеет с учётом (10.168) следующий вид: Δ_o-θ = hsin(-θ) - hsinυ_imax= ± mλ, (10.173)

где υ_imax - i - ое значение угла к главной оптической оси Л линзы, под которым при данной λ длине волны производят наблюдение главного дифракционного максимума m - ого порядка.

Дата добавления: 2015-08-28