1.Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости.

БИЛЕТ 1 1.Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости. 2.Задача. Точка К не лежит в плоскости трапеции АВСD (АВ//СD). Через середины отрезков КА и КВ проведена прямая EF. Докажите, что EF//DC и определите вид DCEF, если АВ:DC=2:1. 3. Задача. Постройте сечение треугольной пирамиды НАВС плоскостью проходящей через точки Р,М и К, причем НР=РС, СМ:МВ=5:1, НК:КА=1:3

БИЛЕТ 16 1.Аксиомы стереометрии. Способы задания плоскости. 2.Задача. Квадрат ABCD и равнобедренный треугольник КВС (КВ=ВС) лежат в разных плоскостях. М и Р- середины отрезков ВК и СК. Определите вид МРDА и вычислите его площадь, если АВ=12 см,МА=РD=5 см. 3. Задача. Постройте сечение треугольной пирамиды НАВС плоскостью проходящей через точки Р,М и К, причем НР=РВ, СМ:МВ=1:4, НК:КА=1:3.

БИЛЕТ 2 1. Прямые в пространстве. Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не принадлежащую ей. Свойства параллельных прямых. 2. Задача. В ромбе АВСД угол А=60 АВ=4см. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой ДС равно 4 Найдите расстояние от точки Е до плоскости ромба и от точки А до плоскости ЕДС. 3. Задача. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды если сторона ее основания равно 2,а двугранный угол при основании равен 60

БИЛЕТ 17 1. Прямые в пространстве. Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не принадлежащую ей. Свойства параллельных прямых. 2.Задача. К плоскости ромба АВСD, в котором ÐА=45°, АВ=8см, проведен перпендикуляр МС=7см. Найдите расстояние от М до сторон ромба. 3. Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С 1проведено сечение через вершину С 1 и ребро АВ. Найти периметр сечения если сторона основания призмы равна 12,а боковое ребро 9.

БИЛЕТ 3 1. Прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых. 2. Задача. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости a, а плоскость АВС образует с a угол в 30°. Найти расстояние от точки С до плоскости a, если АС=6 см, ВС=8 см. 3.Сторона основания правильной - 3 -угольной пирамиды равна 8 3см.Высота ее 8 см.Вычтслите длину бокового ребра пирамиды и двугранный угол при основании пирамиды.

БИЛЕТ 18 1.Прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых. 2. Задача. Из точки А вне плоскости a проведены к этой плоскости две равные наклонные. Отрезок, соединяющий основания наклонных, равен 10 и составляет с наклонной угол 60°, а с ее проекцией угол 45°. Найдите расстояние от точки А до плоскости a. 3. Задача. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.

БИЛЕТ 4 1.Прямая и плоскость в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. 2. Задача. Катеты прямоугольного треугольника 18см и 32см. Из точки М, делящей гипотенузу пополам, восстановлен к плоскости треугольника перпендикуляр МК=12см. Найдите расстояние от точки К до каждого катета. 3.Задача. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 14 см^2 а площадь диагонального сечения 14 см^2. Найти боковое ребро пирамиды и апофему.

БИЛЕТ 19 1.Прямая и плоскость в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. 2.Задача. Из точки А взятой на окружности радиуса 2см, восстановлен к плоскости круга перпендикуляр АК=1см. Из точки А проведен диаметр АВ, а из точки В под углом 45° к диаметру хорда ВС. Определить расстояние от точки К до хорды ВС. 3.Задача. В основани пирамиды лежит равнобедренная трапеция с основанием 6 и 2. Найти высоту пирамиды, если все двугранные углы при ее основании равны 60^0.

БИЛЕТ 5 1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признак параллельности двух плоскостей в пространстве. 2. Задача. Через точку М проведены наклонная МВ и перпендикуляр ММ1 к плоскости угла АВС. Острые углы МВА и МВС равны. Доказать, что Ð М1ВА= Ð М1ВС. 3. Задача. Высота правильной треугольной призмы равна 2 3. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, наклонен к плоскости нижнего основания под углом45. Найти полную поверхность призмы.	БИЛЕТ 20 1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признак параллельности двух плоскостей в пространстве. 2.Задача. Сторона ВС треугольника АВС лежит в плоскости a. АА1^a, АК- высота треугольника АВС. Докажите, что отношение площадей треугольников АВС и А1ВС равно АК:А1К. 3.Задача. Основание призмы-правильный треугольник со стороной 6см.Высота сечения, прходящего Через сторону нижнего основания и центр верхнего равна 10 см.Найти площадь сечения.
БИЛЕТ 6 1. Перпендикулярность прямой и плоскости (определение и признак). 2. Задача. Отрезок ВС параллелен плоскости a. Точка D лежит на отрезке ВС. Из точки А, не лежащей в плоскости a, проведены прямые АВ, АС, АD, пересекающие плоскость a соответственно в точках Е, Т, О. Найдите расстояние между точками Т и О, если ВD = a, DС= в, а точка С делит отрезок АТ в отношении 3:5, считая от А к Т и точка В лежит между точками А и Е. 3. Задача. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 13,14,15.Боковое ребро противолежащее средней по величине стороне основания,перпендикулярно плоскости основания и равно 16.Найти площадь полной поверхности пирамиды.	БИЛЕТ 21 1. Перпендикулярность прямой и плоскости (определение и признак). 2. Задача. Отрезок ВС параллелен плоскости a. Точка D лежит на отрезке ВС. Из точки А, не лежащей в плоскости a, проведены прямые АВ, АС, АD, пересекающие плоскость a соответственно в точках Е, Т, О. Найдите расстояние между точками Е и О, если ВD = a, DС= в, а точка С делит отрезок АТ в отношении 3:5, считая от А к Т и точка В лежит между точками А и Е. 3. Задача. Найти стороны оснований правильной 4-угольной усеченной пирамиды,если ее высота равна 7,боковое ребро 9,а диагональ 11.
БИЛЕТ 7 1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей. 2.Задача. Через точки А и А1,взятые вне плоскости, проведены прямые АВ и АС, А1В и А1С, так что АВ//А1В1, АС//А1С1,где В, С, В1, С1 -точки пересечения соответствующих прямых с данной плоскостью. Докажите, что прямые ВС и В1С1 параллельны или совпадают. 3.Задача. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС, ÐС=90°, ÐА=30°, ВС=4. Боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды 3 см. Найдите длину боковых ребер.	БИЛЕТ 22 1.Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей. 2.Задача Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей a и b проведены три луча, пересекающие плоскости соответственно в точках А, В, С и А1,В1, С1 (ОА<ОА1). Найдите периметр треугольника А1В1С1 если ОА= 3, АА1=7, а периметр треугольника АВС 12см. 3.Задача Основанием пирамиды служит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 12 см. и 5 см. Высота пирамиды равна длине гипотенузы основания. Все двугранные углы при основании равны. Найдите величины этих углов.
БИЛЕТ 8 1.Параллелепипед. Свойство граней. 2.Задача. АВСД-ромб со стороной, равной а,угол А =60 ^0 АМ перпендикулярна АВС, АМ= а / 2. Найдите расстояние от точки М до прямой СД. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3 и 7, а одна из диагоналей 6. Высота пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4.Найти боковые ребра.	БИЛЕТ 23 1.Параллелепипед. Свойство граней. 2.Задача. АВСД-прямоугольник.ОтрезокАЕ перпендикулярен плоскости АВС. ВЕ=15, СЕ=24, ДЕ=20.Докажите, что треугольник ЕДС прямоугольный и найдите АЕ.3.Задача. В основании пирамиды АВСДЕ лежит квадрат АВСД со стороной 1. Ребро АЕ=√6 и перпендикулярно основанию. Найти угол между ребром СЕ и основанием пирамиди.

БИЛЕТ 9 1.Параллелепипед. Свойство диагоналей. 2.Задача. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, параллельны одной и той же плоскости, то они параллельны. 3.Задача. Основанием пирамиды служит ромб, вершина ее проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через меньшую диагональ ромба, параллельно боковому ребру пирамиды. Определить площадь сечения, если сторона ромба 3 см., его острый угол -60, а большее боковое ребро пирамиды образует с основанием угол 30°.

БИЛЕТ 24 1.Параллелепипед. Свойство диагоналей. 2.Задача. Параллельные плоскости a и b пересечены плоскостью g, линии их пересечения- прямые а и b. В плоскости b проведена прямая с, пересекающая прямую b. Могут ли прямые а и с лежать в одной плоскости?(Ответ поясните). Постройте линию пересечения плоскости, содержащей некоторую точку прямой а и прямую с, с плоскостью a. 3.Задача. В правильной четырехугольной пирамиде провести сечение через центр основания, параллельно боковой грани. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна 2 и боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°.

БИЛЕТ 10 1. Прямоугольный параллелепипед. Теорема о квадрате его диагонали 2.Задача. Прямоугольник АВСD и прямоугольный треугольник DСК лежат в разных плоскостях. Вершина К проектируется в точку В. ВК=4см, АВ=4 Ö2 см, DА =4см. Найдите угол между прямыми АВ и КD. 3.Задача. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 √3, боковое ребро пирамиды равно √7. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

БИЛЕТ 25 1. Прямоугольный параллелепипед. Теорема о квадрате его диагонали 2. Задача. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр ОК=8см. АВ=12см, AD=20см. Найдите угол между прямыми АВ и КС. 3.Задача. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 6, а ребро основания 4. Найти площадь боковой поверхности.

БИЛЕТ 11 1.Перпендикуляр,наклонная,проекция. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах. 2.Задача. В тетраэдре АВСД,АД перпендикулярно АС, АД перпендикулярно АВ,СД перпендикулярно ВС.Докажите,что АД перпендикулярно ВС. 3.Задача. В правильной 4-угольной усеченной пирамиде стороны основания равны 10 и 8см.,а высота 3см.Найти площадь диагонального сечения пирамиды и ее боковую поверхность.	БИЛЕТ 26 1.1.Перпендикуляр,наклонная,проекция. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах. 2.Задача. Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСД,ВЕперпендикулярно АВ,ВЕ перпендикулярно ВС.Докажите,что СД перпендикулярно ВЕ. 3.Задача. В правильной 4-угольной усеченной пирамиде стороны основания равны 10 и 4 см,а площадь диагонального сечения 28 2см.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
БИЛЕТ 12 1.Призма. Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. 2.Задача. Из данной точки проведены две наклонные к данной плоскости. Длины наклонных равны 5см и 8см, длины их проекций относятся как 4:Ö3. Найдите расстояние от данной точки до плоскости. 3.Задача. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковые грани образуют двугранные углы по 45 ^0. Найти высоту пираииды.	БИЛЕТ 27 1.Призма. Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. 2.Задача. Вершины А и К ромба АВСК лежат в плоскости a. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 5см. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки В,С и их проекции на плоскость a. Вычислите периметр этого четырехугольника, если угол между стороной АВ и ее проекцией равен 30°. 3.Задача. В основании пирамиды АВСД лежит правильный треугольник АВС со стороной 6. Ребро АД равно 3 и перпендикулярно основанию. Найти угол между гранью ВСД и основанием пирамиды.
БИЛЕТ 13 1.Пирамида. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды. 2.Задача. а ^a, а ^ в, в Ïa. Через прямую в проведена плоскость b, которая пересекает плоскость a по прямой с. Каково взаимное положение прямых в и с. 3.Задача. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1, МÎАD, причем АМ:МD=1:3, а РÎDС1, причем DР:РС1=2:5. Разложите вектор МР по векторам АВ, АD, АА1.	БИЛЕТ 28 1.Пирамида. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды. 2.Задача. Треугольник АРД и трапеция АВСД имеют общую сторону АД и лежат в разных плоскостях.Через основание ВС трапеции и середину отрезка РД –точку К проведена плоскость,которая пересекает прямую АД в точке М.Найдите МК,если АДравно 10см. 3.Задача. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 4см. и острым углом 60.Высота пирамиды равна 3.Найти двугранные углы при основаниипирамиды,зная,что они одинаковы.
БИЛЕТ 14 1.Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости. Свойства. 2.Задача. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами 12,12 и 8см. Боковые ребра равны 9Ö2см. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 3.Задача. Дан куб АВСDА1В1С1D1 с ребром а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через вершины А и D1 и середину ребра ВВ1. Найдите площадь полученного сечения.	БИЛЕТ 29 1.Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости. Свойства. 2.Задача. В треугольнике АВС угол С= 90 ^0, А = 30 ^0. Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная плоскости треугольника, АС= 18см, СМ =12 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ и расстояние от точки В до прямой АСМ..Задача В прямом параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 ВС=8, СД= 15, угол СВД=60.Через диагональ ВД и вершину С 1 проведена плоскость под углом 45 к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности.

БИЛЕТ 15 1.Векторы в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. 2.Задача. Треугольник АВС- прямоугольный, ÐС=90°, треугольник КВЕ- равносторонний. Найдите угол между плоскостями треугольников, если АСêêКЕ, а расстояние между ними Ö3см, ВС=КЕ=2 см. 3.Задача. В основании призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 8 и 2,все двугранные углы при основании равны 60.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.	БИЛЕТ 30 1. Векторы в пространстве. Действия над векторами. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. 2.Задача. В треугольнике АВС АСравно ВСиравно 10см.,уголВ равен 30,прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД равно 5см.Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АСД. 3.Задача. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,основания которой равны 2см.и 8см.Боковые грани наклонены к основанию под углом 60.Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
БИЛЕТ 32 1.Перпендикуляр, наклонная,проекция. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах. 2.Задача. В пирамиде АВСК медиана к стороне АК в треугольнике АВК равна половине АК, а медиана к стороне СК в треугольнике ВСК равна половине СК. Докажите, что ВК ^ АВС. 3.Задача. Определите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если площади оснований равны Р и Q, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол a.	БИЛЕТ 31 1.Перпендикулярность прямой и плоскости (определение и признак). 2.Задача. Отрезок ВС параллелен плоскости a. Точка D лежит на отрезке ВС. Из точки А, не лежащей в плоскости a, проведены прямые АВ, АС, АD, пересекающие плоскость a соответственно в точках Е, Т, О. Найдите расстояние между точками Е и О, если ВD = a, DС= в, а точка С делит отрезок АТ в отношении 3:5, считая от А к Т и точка В лежит между точками А и Е. 3. Задача. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол 60°, а середина его удалена от основания на расстояние 2Ö6 см. Определите полную поверхность пирамиды.
БИЛЕТ 33 1. Прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых. 2. Задача. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости a, а плоскость АВС образует с a угол в 30°. Найти расстояние от точки С до плоскости a, если АС=6 см, ВС=8 см. 3.Задача. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с основанием 8 и 2. Все двугранные углы при основании равны 60 ^0 Найти площадь боковой поверхности пирамиды.	БИЛЕТ 34 1.Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости. Свойства. 2.Задача. В треугольнике АВС АС= ВС =10см, угол В =30.Прямая ВД =5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АСД..Задача Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 и 8. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

Дата добавления: 2015-08-28