Вопросы к экзамену по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности «Математика. Физика», 2014/2015 уч.г.

Вопросы к экзамену по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности «Математика. Физика», 2014/2015 уч.г.

1. Предмет теории вероятностей. История возникновения и развития теории вероятностей. Дискретное пространство элементарных событий. Примеры. Классификация событий. Операции над событиями, соотношения между событиями. Примеры.

2. Классическое определение вероятности. Примеры. Статистическое определение вероятности. Примеры.

3. Аксиоматическое определение вероятности в дискретном пространстве. Геометрическая вероятность. Примеры.

4. Вероятность суммы несовместных и попарно несовместных событий. Общая теорема сложения вероятностей. Примеры.

5. Определение условной вероятности. Теоремы умножения вероятностей. Определение независимости событий. Примеры. Вероятность суммы независимых событий. Примеры.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

7. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшая частота появления события. Примеры.

8. Предельная теорема Пуассона. Примеры. Локальная теорема Лапласа. Примеры. Интегральная теорема Лапласа. Примеры. Отклонение относительной частоты от вероятности.

9. Понятие случайной величины и функции ее распределения. Свойства функции распределения случайных величин. Примеры. Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения. Способы задания дискретных случайных величин. Примеры.

10. Понятие непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Примеры.

11. Числовые характеристики случайных величин и их основные свойства. Примеры.

12. Биномиальное распределение случайной величины. Примеры. Закон распределение Пуассона случайной величины. Примеры. Дискретное равномерное распределение случайной величины. Примеры.

13. Непрерывное равномерное распределение случайной величины. Примеры. Показательное распределения случайной величины. Примеры. Нормальный закон распределения. Правило трех сигм. Примеры.

14. Предельные теоремы теории вероятностей.

15. Предмет и задачи математической статистики. Основные определения математической статистики: статистический ряд, генеральная совокупность, выборка, варианта, вариационный ряд. Классификация выборок. Суть выборочного метода.

16. Закон распределения СВ Х. Закон распределения для дискретных СВ. Полигон частот (относительных частот). Геометрический смысл полигона относительных частот. Пример.

17. Закон распределения для непрерывных СВ. Гистограмма частот (относительных частот). Геометрический смысл гистограммы относительных частот. Интервальная таблица частот (относительных частот). Пример.

18. Эмпирическая функция распределения. Ее свойства. Примеры.

19. Числовые характеристики выборки. Примеры.

20. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки параметров распределения. Их классификация. Метод моментов для точной оценки параметров распределения. Примеры.

21. Метод наибольшего правдоподобия. Примеры.

22. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии в случае нормального распределения. Примеры.

23. Понятие статистической гипотезы. Классификация статистических гипотез. Основная (нулевая), конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Примеры. Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Критическая область. Статистический критерий и его мощность. Общее правило проверки статистических гипотез.

24. Проверка гипотезы о математическом ожидании случайной величины, имеющей нормальное распределение. Примеры.

25. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных величин, имеющих нормальное распределение. Примеры.

26. Проверка гипотезы о дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение. Примеры.

27. Проверка гипотез равенства двух случайных величин, имеющих нормальное распределение. Примеры.

28. Статистическая проверка непараметрических гипотез. Критерий согласия c² (критерий Пирсона), его применение к проверке статистических гипотез. Примеры.

29. Рабочий обслуживает 5 станков. 20% времени он уделяет первому станку, 18% - второму, 10% - третьему, 25% - четвертому, 27% - пятому станку. Какова вероятность того, что случайно заглянувший в цех мастер найдет рабочего у первого, второго или у третьего станка?

30. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, а для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент проводит расчет на случайно выбранной машине. Известно, что до окончания расчета машина не вышла из строя. Найти вероятность того, что расчет производился на полуавтомате.

31. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 независимых испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0,2.

32. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной рентгеноскопии ¾. Чему равна вероятность, что заболевания будет обнаружено при трех рентгеноскопиях?

33. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

34. В лотерее 10000 билетов, из них 100 выигрышных. Участник лотереи приобрел 20 билетов. Определить вероятность того, что выиграл хотя бы один из купленных билетов.

35. Найти вероятность того, что событие – переключение передач – наступит 60 раз на 300-километрвойй трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.

36. Плотность вероятности случайной величины Х задана выражением Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

37. СВ Х имеет плотность вероятности Найти коэффициент a; функцию распределения F(x); математическое ожидание М(Х).

38. СВ Х задана следующей таблицей

	-2	-1
	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Требуется: 1) построить многоугольник распределения; 2) найти функцию распределения и построить ее график; 3) найти , .

39. СВ Х задана следующей таблицей

	-2	-1
	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Найти числовые характеристики СВ Х (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение).

40. С надежностью g = 0,9 найти доверительный интервал для математического ожидания расстояния до ориентира, если при 10 независимых измерениях получены следующие значения этого расстояния в километрах:

25,025: 24,970; 24,780; 25,315; 24,907; 24,646; 24,717; 25,354; 24,912; 25,374.

Предполагается, что ошибка измерения распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 100 м.

41. В результате 10 независимых измерений длины стержня получены следующие данные:

23, 24, 23, 25, 25, 26, 26, 25, 24, 25.

Предполагая, что ошибка измерения распределена нормально, найти 95% доверительный интервал для математического ожидания длины стержня.

42. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² = 16,2. Требуется при уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: при альтернативной гипотезе Н_а: .

Требуется при уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: a = a₀ = 35 мм при альтернативной гипотезе Н_а: a ¹ 35 мм.

Дата добавления: 2015-08-28