Заметки о пространстве, времени, материи, движении материи 6 страница

Аксиомами статики абсолютно твердого тела являются следующие аксиомы.

Аксиома 1. Свободное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.

Опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, не может находиться в равновесии.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.

Из аксиом 1 и 2 следует, что не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения этой силы можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела. Свобода переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия является характерным свойством только абсолютно твердого тела. В деформируемом теле такой перенос силы недопустим.

Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали.

Аксиома 4. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Если тело действует на тело с силой , то одновременно тело действует на тело с силой . Одна из этих сил, например , получила название «действие», а другая - «противодействие». Нужно запомнить, что силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены не к одному, а к двум разным телам. Из этой аксиомы следует, что в природе не существует одностороннего действия силы. Этот закон был сформулирован впервые Ньютоном в его «Началах» и называется законом равенства действия и противодействия.

Аксиома 5. Если деформируемое тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушится и в том случае, если это тело отвердеет (станет абсолютно твердым). Эту аксиому называют принципом отвердевания. Из принципа отвердевания следует, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего деформируемого тела. Достаточные условия равновесия деформируемых тел устанавливаются в курсах сопротивления материалов и теории упругости. Например, твердый брусок находится в равновесии под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль оси бруска друг к другу либо друг от друга, а нить, соответствующая этому бруску, находится в равновесии

только под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга. Очевидно, что под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется. Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела. Этот принцип позволяет результаты, изложенные в статике абсолютно твердого тела, перенести затем не только на исследование равновесия деформируемых тел (сопротивление матриалов) и целых инженерных сооружений (строительная механика), но и на равновесие жидкости (гидростатика).

Динамика абсолютно твердого тела. Общие законы движения твердого тела под действием приложенных к нему сил следуют из общих теорем динамики механической системы.

Поступательное движение абсолютно твердого тела под действием приложенных к нему сил сводится к задачам динамики материальной точки.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Практически крепление оси вращения осуществляется при помощи подпятника и подшипника . Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, можно записать как: момент инерции тела относительно оси вращения, умноженный на угловое ускорение тела, равен вращающему (главному) моменту сил, действующих на тело, относительно оси вращения, т.е. ; ; . Угол поворота тела считается положительным тогда, когда с положительного конца оси он видится отложенным в направлении против хода часовой стрелки, и отрицательным – по ходу часовой стрелки. Угловая скорость тела характеризует быстроту изменения угла поворота тела с течением времени. Угловая скорость тела в рассматриваемый момент времени равна первой производной от угла поворота тела по времени. Когда тело вращается против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения, то угол поворота возрастает, поэтому угловая скорость положительна; если тело вращается по ходу часовой стрелки, то угловая скорость отрицательна. Угловое ускорение тела характеризует быстроту изменения угловой скорости этого тела с течением времени. Угловое ускорение тела в рассматриваемый момент времени равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота тела по времени. Вращение тела будет ускоренным, когда угловая скорость и угловое ускорение имеют одинаковые знаки, и замедленное, - когда разные. Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси позволяет, зная момент инерции тела относительно оси вращения и вращающий момент сил, действующих на тело, относительно оси вращения найти угол, на который повернется тело вокруг оси или угловую скорость в момент времени, в который эти величины интересуют (в общем случае вращающий момент может быть переменной величиной и зависеть от времени, угла поворота и скорости поворота тела). Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси также позволяет, зная момент инерции относительно оси вращения и зная угол поворота в рассматриваемый момент времени, найти вращающий момент сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Если внешние силы отсутствуют или направление их действия проходит через ось вращения, то вращающий момент равен нулю и тело будет вращаться равномерно; если вращающий момент сил, действующих на тело, постоянен, то тело будет вращаться равнопеременно, при этом вращение будет ускоренным, если направление вращающего момента совпадает с направлением вращения тела, и замедленным - в противном случае. Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси показывает, что при данном вращающем моменте чем больше момент инерции тела относительно оси вращения, тем меньше угловое ускорение тела, и наоборот. Следовательно, можно рассматривать момент инерции относительно оси вращения как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг этой оси вращения.

Плоскопараллельное движение твердого тела. При плоскопараллельном движении твердого тела под действием внешних сил все точки этого тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости - плоскости движения тела. Для определения положения твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, достаточно задать положение какой-нибудь его точки, принятой за полюс, и угол поворота тела вокруг оси, проходящей через этот полюс и перпендикулярной к неподвижной плоскости движения. Задачи динамики решаются проще всего, если за полюс взять центр масс тела и определять положение тела координатами центра масс и углом поворота тела вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения. Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равнялась бы массе всего тела и к которой был бы приложен главный вектор (геометрическая сумма) всех внешних сил, действующих на тело. Или, что то же самое, центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены все внешние силы, на самом деле приложенные к точкам тела, которые, в общем случае, не совпадают с центром масс; при этом требуется параллельный перенос действующих сил в центр масс тела. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения тела, умноженный на угловое ускорение тела, равен главному моменту сил, действующих на тело, относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения.

Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку (сферическое движение тела). Неподвижная точка может или принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представлять себе, что она каким-нибудь образом неизменно связана с телом, например, при помощи стержня. Примером твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, может служить волчок, заостренный конец ножки которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что этот конец ножки при вращении волчка остается неподвижным. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, в каждый момент времени вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, вокруг этой точки описывается в общем случае совместной системой из шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций , , (углов Эйлера), которые определяют положение тела относительно неподвижной системы координат с началом в неподвижной точке тела. Три из этих уравнений являются динамическими уравнениями Эйлера и связывают через главные осевые моменты инерции тела для неподвижной точки проекции на подвижные оси координат, неизменно связанные с движущимся телом и направленные по главным осям инерции тела с началом в неподвижной точке, главного момента сил (относительно неподвижной точки), действующих на тело, с проекциями мгновенного углового ускорения и угловой скорости тела на подвижные оси (главные оси инерции тела). Три других уравнения являются кинематическими уравнениями Эйлера и связывают проекции вектора угловой скорости тела на подвижные координатные оси с углами Эйлера и скоростями изменений углов Эйлера. Проекции на главные оси инерции тела главного момента сил, действующих на тело, в общем случае зависят от угловой скорости тела, углов Эйлера тела и рассматриваемого момента времени. Интегрирование этой системы уравнений для отыскания закона движения тела, зная моменты действующих на тело сил, представляет значительные математические трудности. Найти точное решение задачи удается лишь в отдельных частных случаях, в которых накложены ограничения на моменты действующих на тело сил и на форму этого тела, т.е. на главные моменты инерции тела для неподвижной точки, а также на начальные условия (частные решения). Если такие ограничения не наложены, то точное решение задачи можно получить только в трех частных случаях.

Случай движения тела произвольной формы, когда сумма моментов всех сил относительно неподвижной точки этого тела равна нулю. В частности, такое движение будет совершать тело, у которого неподвижная точка совпадает с центром тяжести и на которое не действуют никакие активные силы, кроме силы тяжести, а последняя уравновешивается реакцией опоры неподвижной точки.

В этом случае вектор кинетического момента тела, имеющего одну неподвижную точку, относительно этой точки будет постоянным как по модулю, так и по направлению. Если все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную точку тела, а форма тела такова, что (эллипсоид инерции для неподвижной точки тела является эллипсоидом вращения),

то это тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси , связанной с телом, а эта ось в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси , описывая коническую поверхность с постоянным углом раствора . Такое движение называется регулярной прецессией. Тело, имеющее одну неподвижную точку, форма которого такова, что главные моменты инерции , может совершать регулярную прецессию не только в случае, когда главный момент сил, действующих на тело, относительно неподвижной точки равен нулю, но и в случае, когда на тело действует постоянный по модулю момент, определяемый как , где , , , , - постоянные по времени угловые скорости поворота тела - скорости изменений углов Эйлера, вектор главного момента сил, действующих на тело, относительно неподвижной точки направлен по линии узлов .

Случай, когда тело, имеющее одну неподвижную точку , находится под действием только силы тяжести и форма этого тела такова, что для него два главных момента инерции , для неподвижной точки равны между собой и не равны третьему главному моменту инерции , т.е. эллипсоид инерции для неподвижной точки тела есть эллипсоид вращения, и центр тяжести тела лежит на подвижной оси , неизменно связанной с телом, на некотором расстоянии от неподвижной точки . При этом ось является осью симметрии эллисоида инерции и является осью динамической (материальной) симметрии тела. Такое тело, имеющее одну неподвижную точку, часто называют симметричным гироскопом. Лагранж и Пуассон показали, что зависимость углов Эйлера от времени в случае симметричного гироскопа получается с помощью так называемых эллиптических функций. Если на симметричный гироскоп будет действовать момент силы тяжести относительно неподвижной точки, то этот момент будет влиять

на движение симметричного гироскопа, который в этом случае называется тяжелым симметричным гироскопом. Если тяжелому гироскопу сообщить угловую скорость собственного вращения и поставить этот гироскоп под углом к вертикальной оси , то он будет совершать регулярную прецессию вокруг вертикальной оси только в том случае, если в начальный момент ему будет одновременно сообщена угловая скорость , равная по величине одному из двух корней квадратного уравнения . В случае, когда член весьма мал сравнительно с членом (медленная прецессия быстро вращающегося тяжелого гироскопа), первым членом в уравнении можно пренебречь. Тогда получим следующее приближенное значение угловой скорости прецессии тяжелого гироскопа: . Таким образом, задавая начальную угловую скорость вращения относительно оси симметрии тяжелого гироскопа, получим при большой величине медленную прецессию тяжелого гироскопа вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , определяемой формулой , и при любом значении угла нутации (за исключением , при котором главный момент внешних сил, приложенных к телу, относительно неподвижной точки равен нулю). Строго говоря, прецессия в этом случае будет отличаться от регулярной прецессии тем, что угловая скорость ее только в среднем равна величине, определяемой формулой . Кроме того, ось гироскопа в этом случае будет совершать дополнительные нутационные колебания с малой амплитудой, то приближаясь к вертикальной оси , то удаляясь от нее. Такое движение тяжелого гироскопа называют псевдорегулярной прецессией. Этот случай движения твердого тела можно продемонстрировать на гироскопе колоколообразной формы, вдоль оси динамической симметрии которого передвигается винт, чем можно по произволу привести точку опоры (острие винта) в совпадение с центром тяжести или же поместить центр тяжести выше точки опоры на оси винта.

Случай, когда тело, имеющее одну неподвижную точку, находится под действием только силы тяжести и форма этого тела такова, что два главных момента инерции , для неподвижной точки равны между собой и равны удвоенному третьему главному моменту инерции , т.е. эллипсоид инерции для неподвижной точки тела есть вытянутый эллипсоид вращения около оси . При этом неподвижная точка тела лежит на оси , а центр тяжести тела – где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Пользуясь методом, основанным на применении аппарата теории функций комплексного переменного, С.В. Ковалевская нашла в этом случае общий интеграл дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, выразив углы Эйлера , , при помощи квадратур через время и шесть произвольных постоянных. Этот случай движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку можно проиллюстрировать на модели, представляющей собой открытую коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда с соответственно подобранными размерами.

Установление общих законов движения абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, позволяет установить также и общий случай движения свободного твердого тела, так как это движение слагается из поступательного движения, определяемого движением центра масс тела, и вращательного движения тела вокруг центра масс как неподвижной точки.

Гироскопические явления. Гироскопом называется твердое тело, имеющее ось динамической симметрии и закрепленное в какой-нибудь точке этой оси. Гироскоп может быть выполен в виде маховичка, колоколообразного тела и т.д., лишь бы его эллипсоид инерции относительно точки опоры был эллипсоидом вращения, т.е. два из трех главных моментов инерции были бы равны между собой. В различного рода гироскопических приборах закрепление гироскопа осуществляется обычно с помощью карданова подвеса.

Кроме собственного вращения вокруг своей оси симметрии, гироскоп может, иметь прецессионное движение вокруг неподвижной вертикальной оси и нутационное колебание. В элементарной теории гироскопических явлений рассматриваются лишь те движения гироскопа, для которых угловая скорость собственного вращения гироскопа вокруг своей оси симметрии намного больше, чем угловая скорость прецессии и угловая скорость нутации. В элементарной теории гироскопических явлений исходят из следующих допущений: кинетический момент гироскопа относительно его точки опоры направлен по оси симметрии гироскопа ; модуль кинетического момента равен произведению момента инерции гироскопа относительно его оси симметрии на угловую скорость собственного вращения гироскопа. Гироскоп, на который не действуют внешние силы, или эти силы уравновешены, называется уравновешенным, или свободным, гироскопом. К уравновешенному, или свободному, гироскопу относится гироскоп в кардановом подвесе, а также гироскоп закрепленный в центре тяжести и вращающийся вокруг своей оси динамической симметрии.

Ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Свободный гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью собственного вращения . В действительности угловая скорость убывает, так как на гироскоп действуют сопротивление воздуха и силы трения в точке опоры гироскопа. Если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то эта ось будет отклоняться не по направлению действия силы, а по направлению, которое имеет вектор-момент этой силы относительно точки опоры гироскопа, т.е. перпендикулярно к линии действия силы. Конец вектора

кинетического момента гироскопа относительно точки опоры будет перемещаться со скоростью , по направлению вектора-момента действующей на ось гироскопа силы относительно той же точки опоры. Если действие силы на ось гироскопа прекратится, т.е. момент силы обратится в нуль, то прекращается движение оси гироскопа. В этом смысле можно сказать, что движение оси гироскопа безынерционно, в отличие от движения материальной точки, которая с прекращением действия на нее силы продолжает движение по инерции с приобретенной скоростью. Если подействовать на ось быстро вращающегося гироскопа мгновенной силой, т.е. сообщить ей удар, то ось гироскопа сместится за весьма малый промежуток времени действия этой силы на очень малую величину и ось гироскопа практически почти не изменит своего начального направления, т.е. по отношению к ударам ось гироскопа нечувствительна. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа. Этими свойствами обладает и ось гироскопа, вращающегося на кардановом подвесе.

Быстровращающийся тяжелый гироскоп, у которого ось динамической симметрии не вертикальна и неподвижная точка не совпадает с его центром тяжести, находится

под действием силы тяжести и реакции опоры. Главный момент этих всех внешних сил относительно точки опоры такой, что составляющая силы тяжести, перпендикулярная к оси собственного вращения гироскопа, создает движение оси собственного вращения в направлении, перпендикулярном этой составляющей так, что ось тяжелого симметричного гироскопа вращается вокруг вертикальной оси, т.е. совершает регулярную прецессию. Чем быстрее вращается гироскоп, тем медленнее он прецессирует, и наоборот, чем медленнее вращается гироскоп, тем быстрее он прецессирует.

Если ось быстровращающегося с

угловой скоростью гироскопа насильно заставить вращаться (прецессировать) с угловой скоростью вокруг какого-либо направления, то на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, подействует гироскопическая пара сил с моментом , стремящаяся кратчайшим путем установить ось собственного вращения параллельно оси принудительной прецессии так, чтобы направления векторов и совпали. Этот момент создают, очевидно, силы , , с которыми подшипники и давят на ось гироскопа. Так как в данном случае центр масс гироскопа неподвижен, то силы и образуют пару, момент которой направлен так же, как и скорость , т.е. к читателю. В свою очередь ось гироскопа будет давить на подшипники и с силами и , равными по модулю и противоположными по направлению силам и . Пара сил и называется гироскопической парой, а ее момент , равный по модулю , но направленный в противоположную сторону, называется гироскопическим моментом. При этом эффект действия гироскопической пары на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, называется гироскопическом эффектом. Гироскопическая пара, кроме давления на подшипники, в которых вращается ось гироскопа, может вызвать движение того тела, с которым скреплены эти подшипники, если только это движение допускается наложенными связями. Например, трех-четырехлопастные винты самолета можно рассматривать как гироскопы, оживленные быстрым вращением. При виражах самолета появляется гироскопическая пара, действующая на подшипники, в которых закреплена ось винта. Так как подшипники связаны с корпусом самолета, то эта пара отражается и на поведении самолета. Если винт вращается, глядя от летчика, по часовой стрелке и самолет начинает делать правый вираж, то на подшипники, в которых закреплена ось винта, будет действовать гироскопическая пара с моментом , направленным по поперечной оси, стремящаяся установить ось вращения винта параллельно вертикальной оси прецессии, т.е. самолет начнет пикировать.

Дата добавления: 2015-11-03